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第44卷第18期2016年9月16日电力系统保护与控制PowerSystemProtectionandControlVl01.44N0.18Sep.16,2016D0I:10.7667/PSPC151842电流反馈型Buck变换器分岔动力学分析及稳定性控制李哲,李颖晖,吴辰,陈柄任(空军工程大学航空航天工程学院,陕西西安710038)摘要:针对电流反馈型Buck变换器电路参数波动引起分岔等非线性失稳动力学行为,研究了基于单值矩阵的动力学分析及稳定性控制方法。首先采用菲利波夫法得到了电流反馈型Buck变换器的一个线性化的周期轨道,并以单值矩阵的形式来描述。结合Floquet理论用单值矩阵的特征值(Floquet乘子)分析了变换器的稳定性:根据Floquet乘子是否处于单位圆内,判定变换器是否发生分岔失稳。进一步考虑了多参数变化对变换器稳定性的影响,多参数变化条件下系统的稳定域比较狭窄,变换器很容易产生分岔,基于参数共振微扰法,在参考电流中添加小幅周期信号,使变换器模态之间的切换面发生了改变,有效地抑制了变换器的分岔行为,稳定域得到了明显的拓展。仿真和实验验证了该方法和结论的有效性。关键词:Buck变换器;分岔;菲利波夫法;单值矩阵;稳定性;稳定域StudyonbifurcationbehaviorsandstabilizationincurrentmodecontrolledBuckconverterLIZhe,LIYinghui,WUChen,CHENBingren’(SchoolofAeronauticsandAstronauticsEngineering,AirForceEngineeringUniversity,Xian710038,China)Abstract:TorestrainthenonlineardynamicalbehaviorslikebifurcationincurrentmodecontrolledBuckconvertercausedbyvariationofcircuitparameters,adynamicanalysisandcontrolmethodbasedonmonodromymatrixisstudied.’First,FilippovSmethodisappliedtoobtainalinearizationaroundtheperiodicorbitofcurrentmodecontrolledBuckconverter,anditcanbedescribedasmonodromymatrix;combinedwithFloquettheory,theeigenvaluesofthemonodromymatrix(Floquetmultipliers)areusedtoanalyzethestabilityoftheconvener:thestatewhetherFloquetmultipliersarewithintheunitcircleiscommi ̄edtodeterminewhethertheconverteroccurbifurcation.Meanwhile,the—stabilityoftheconverterunderconditioninmultiparameterchangesisconsidered,itsstableregionisrelativelynarrow,converteriseasytooccurbifurcationandbecomeunstable.Basedonthemethodofresonantparametricperturbation,aslightperiodsignalisaddedtothereferencecurrent,whichcanchangetheswitchinghypersurfacebetweenthestateofconverter,andthebifurcationbehaviorscanbeeffectivelyrestrained,throughthis,stableregionisobviouslyexpanded.Finally,thesimulationandexperimentalresultsshowthattheanalysismethodandconclusionproposediseffective.ThisworkissupportedbyNationalKeyBasicResearchProgramofChina(973Program)(No.2015CB755805.Keywords:Buckconverter;bif’urcation;FilippovSmethod;monodromymatrix;stability;stableregion0引言在电力系统的实际设计和规划中,稳定运行的参数域一直是工程设计人员十分关注的问题LlJ。由于分岔【]与混沌l4]等行为的存在,从动力学的角度分析其稳定性就显得非常重要。电力电子变换器作为电力系统不可或缺的一部分,具有很强的非线性特性。它是一种切换动力学系统,由于开关的存在基金项目:国家973计划(2015CB755805)其被分割为几个线性子模块。对于它的稳定性分析,需要得出其周期轨道的稳定性而不仅仅是计算平衡点的稳定性。因此需要用到一些特殊的方法来获得一个线性化的周期轨道,在以往的研究中,通常是用庞加莱截面来描述整个周期的状态变化,然后在平衡点将其局部线性化,求取雅可比矩阵,通过判断雅可比矩阵的特征值是否处于夫洛开(Floquet)圆内来确定其稳定性l5J。遗憾的是,在很多变换器中,并不能得到一个闭合形式的庞加莱曲线,所以这一方法的使用受到了限制。李哲,等电流反馈型Buck变换器分岔动力学分析及稳定性控制-55-菲利波夫提出了一种可用于分析不连续系统的数学体系,开始这一方法被广泛应用于机械开关系统,近年研究发现其用于电力电子电路也同样有效J。这一方法所得出的单值矩阵与庞加莱截面的雅克比矩阵具有相似的性质。并且当庞加莱截面不能以闭合的形式得出时,这一方法依然有效,且更为直接(庞加莱截面的雅克比矩阵是通过判断受扰轨道的扰动是增强还是减弱来推测轨道稳定性,而单值矩阵的特征值直接与扰动相关)。单值矩阵由各个子系统的状态转移矩阵和用来连接两个子模块的跳跃矩阵组成,而变换器的稳定性正是由状态转移矩阵和跳跃矩阵决定。所以单值矩阵的特征值可以直接指示哪怕是很微弱的扰动下的周期轨道的稳定性L8l。用单值矩阵法来更准确地确定参数的稳定域以及稳定边界有着重要的现实意义。1系统模态分析及建模一般而言,电流反馈型Buck变换器的模型如图1所示L9J。当开关S和D导通或者关断时,系统是不连续的。以时钟脉冲的上升沿为周期起点,S导通,D关断,电感电流i上升,此时变换器工作在模态一;当i上升到甜时,比较器给触发器一个上升沿触发,S关断,由电感电流i给负载供电,i减小,D因承受正向电压而导通,此时变换器工作在模态二;若周期时问足够长,那么当i减小到零时,s和D都关断,由电容给负载供电,此时变换器工作在模态三,直到下一个时钟脉冲的到来。LR图1电流反馈型Buck变换器模型Fig.1CurrentmodecontrolledBuckconvertermode1分析可知,这是一个典型的切换系统,对于切换系统,通常是建立其基于切换系统的模型,构造Lyapunov函数分析其稳定性,并以此设计切换控制率[to-u]。本文采用菲利波夫法在切换点处构造跳跃矩阵,将切换系统转化为一个线性化的周期轨道,用以分析其稳定性,更加形象直观。图1中,三个模态之间的切换条件分别为f=Irof,时钟脉冲上升沿。定SLx ̄(t)=f(f),x2(t)=vo(t),则可以得出Buck变换器的数学模型,如表1所示。表1变换器数学模型Table1Mathematicalmodeloftheconverter切换面可分别表示为(x(tO,t1)=xl(t1)一=0(x(t2),t2)=xl(t2)=0切换面的法向量为,l=V((),)=a()OX2(t1):嘲变换器三个模态状态矢量之间的关系为(1)(2)‘()=识(,0)(0)+e)BlEd'rx(t:)=(f:,t)x()(4)x(T)=织(,z)()又有x(T)=x(O)。结合式(1)、式(2)可求得切换面处的状态变量:’‘‘‘(f)=(,一e2f2e一f2)一el一fBIEd(5)x()=eaz(t2-q)()2单值矩阵的确立开关从闭合到断开是系统从一个状态到另一个状态的跳跃,且这一过程在很短的时间内完成(几乎无穷小)。可用菲利波夫法来确定跳跃矩阵和单值矩阵。跳跃矩阵为.56.电力系统保护与控制~+,l厂_(x()+IOtffz“”“”式中:表示切换前一刻的模态;表示切换后一刻的模态;f为切换时间点。单值矩阵由各子系统状态转移矩阵和连接两个子模块的跳跃矩阵组成。电流反馈型Buck变换器由三个线性时不变系统组成,取两个切换面的时刻为,则其状态转移矩阵分别为:(f,0)=e,‘‘(f2,f1)=e,03(r,t2)=e。第一个和第二个切换面处的跳跃矩阵可由式(6)求得,而在f=T处还有一个跳跃矩阵,因其为时钟控制,所以跳跃矩阵可视为I[121。至此,可以求出整个周期的单值矩阵。DCM模式下:‘‘‘M=I(,t2)S2・欢(t2,1)SlO(t,0)e(a3(T-r2))—’IL: ̄eAz(t2-t1)『1一(tl。II一.lxz)柑Ilcx2(f2)L01J(7)CCM模式下:‘‘M=(f2,,1)S10(tl,0)eA2(t2-tI)卜F-J0Ie却(8)l01j从式(7)、式(8)可以看出,单值矩阵本质上是对一个切换系统围绕其周期轨道的线性化,它的特征值称作Floquet乘子,根据Floquet理论,如果Floquet乘子都处于单位圆内,则认为周期轨道是稳定的。3基于单值矩阵的分岔分析系统初始参数可依表2取值。表2变换器参数Table2Parametervaluesoftheconverter参数取值参数取值E,V2OL/mH3.3T/}as400C/uF1000/Ql9,/A白变量一般说来,变换器围绕周期1轨道运行时,将工作在稳定状态。所以预测状态变量的周期1分岔点,显得非常重要。变换器各单元参数如表2所示,利用Floquet理论,在参考电流Ire变化的情况下,预测变换器的分岔点,如表3所示。表3f变化对Floquet乘子的影响Table3FloquetmultipliersforvariousinputIf由表3可知,当参考电流I<0.2779和0.2779<I<0.8297时,分别由式(5)、式(6)可求得其单值矩阵,其特征值即Floquet乘子厂均处于单位圆内。根据单值矩阵理论,此时系统是稳定的。而当参考电流I=0.8297时,Floquet乘子到达单位圆边界,继续增大,一个Floquet乘子将从一1处穿出单位圆,这将导致系统周期解在此点处频率减半,周期加倍。意味着系统会发生倍周期分岔,从稳定变为不稳定。其绝对值的变化趋势如图2所示。旦|d图2Floquet乘子随参考电流的变化趋势Fig.2ValuesofFloquetmultipliersforvaryingIf以,,为分岔参数,记录下每个周期末电感电流,结果如图3。蜒镭*罨匪l卦图3以为参数的系统分岔图Fig.3BifurcationdiagramofthesystemforvaryingIf李哲,等电流反馈型Buck变换器分岔动力学分析及稳定性控制.57由图3可以看出,系统在I=0.8297时发生倍周期分岔,系统由稳定变为不稳定;之后系统将会沿着一个稳定的周期二轨道运行,继续增大到1.2A附近,系统将会进入混沌。在实际电路中,变化的参量不止一个,输入电压、参考电压、负载电阻等的小幅变动都是需要考虑的因素,以Floquet乘子等于一1为边界条件,可得出在这些参量变化时变换器的稳定区域。图4所示为以参考电流和负载电阻尺为变量时的变换器周期一轨道的稳定域。。.9。。75O・7O065图4周期1轨道稳定域Fig.4Stableregionoftheperiod一1orbit图4中浅色区域为变换器稳定运行的周期1轨道区域,深色区域为不稳定区域。由此可以看出,参考电流和负载电阻的参数范围非常窄,电路在受到干扰的情况下稍有波动,变换器便可能从稳定转变为不稳定状态。4基于参数共振微扰法的稳定性控制4.1参数共振微扰法为了扩大系统的稳定域,根据参数共振微扰法【l引,可在原有参考电流的基础上外加一个小幅时变信号,通过调节变换器的开关占空比来扩大系统的稳定域,从而改变了切换面((),),进而使跳跃矩阵以及单值矩阵得到改变,以此来经过微小的调整达到使Floquet乘子厂落于单位圆内的目的。本文采用正弦信号作为小幅干扰。加入一个小幅正弦信号之后,参考电流就转化为Ire(1+asinCast),为了使外加信号对时钟周期的影响最小而对切换面处的影响最大,取外加信号的频率与时钟频率相,即令==2n/T。由第3节可知,系统由稳定转换为不稳定是发生在电流连续模式下,所以此处只研究电流连续模式下的稳定性改善。则式(1)所示的切换面变为((),)=()一f(1+asinat)=0(9)由式(4)可知,加入正弦信号后,做出改变的只有分母最后一项一efa(OCOS。d则其单值矩阵变为‘’M ̄2(t2,,1)・・(,1,0)=e㈣.给参考电压加入一个小幅正弦信号之后,从模态一到模态二的切换面发生了改变,如图5所示。l4012O10008O0600.40O2O由图5可知,变换器在t=41ms附近开始出现倍周期分岔,但由于小幅正弦信号的加入,电感电流与切换面的交点发生了变化,形成了一个新的切换面,系统在大约经过14个周期的调整之后,进入了一个新的周期1轨道。这一方法之所以可行,是因为倍周期分岔并没有破坏变换器的周期l轨道,而仅仅是改变了它的稳定性】。所以理论上,只要变换器还没有进入混沌状态,通过微小调整切换面,可以使其周期1轨道趋于稳定。4.2稳定性控制方法给参考电流加入小幅正弦信号之后的电路如图6所示。Ejsinrot图6改善之后的电流反馈型Buck变换器Fig.6ImprovedcurrentmodecontrolledBuckconverter依旧使用表1所示的参数,在re=0.83时,分-58-电力系统保护与控制析a取不同的值时系统的稳定性,如表4所示。表4Of逐渐增大时的Floquet乘子Table4Floquetmultipliersforincreasingvaluesof由表4可知,一个非常微弱的周期信号的加入,甚至都不能检测到其对开关导通时间所产生的影响,但已足以使原本不稳定的周期1轨道回到稳定状态。而且随着a的增大,变换器的稳定性会变得更好。由图3的分析可知,系统在I=.处发生混re12沌,在这之前,系统处于倍周期分岔的状态。取=1.2,将其代入式(10),并加约束:max1fI<1。计算可得a=0.0923。图7为I=1.2时,加入小幅周期信号r0.1sintot前后的电感电流波形。1.5Ol25l00075()5002500,254t/ms(a)改蒋之融的电流波形t/ms({)改善之后的电流波形图7电流反馈型Buck变换器电感电流波形Fig.7InductorcurrentofcurrentmodecontrolledBuckconverter取a=0.1,同样取参考电压和负载电阻为变量,图8为稳定域改善前后的对比。在两图中同取点F(19,0.82),在改善之前,此点已到达稳定域边缘,变换器很容易进入不稳定状态;而在改善之后,变换器在参数有较大波动的情况下仍然可以保持稳定。F(19.:61718192O2l22232425/Q(a)改善之前的稳定域1・00f。095曩一090吐o85|08o’F(19,0,82)0.750.70}…————065一一---一一硼一一…————————………-一一l5I6l7l8l9202l22232425R/Qfb)改善之后的稳定域图8电流反馈型Buck变换器稳定域Fig.8StableregionofcurrentmodecontrolledBuckconverter通过以上仿真结果可以看出,加入小幅周期信号之后,电路周期1轨道的稳定域得到了明显的拓展。5实验验证根据图1和图6以及本文的电路参数,建立相应的实验平台,其中电源用直流电压源,MOSFET开关管采用IR2125驱动,比较器采用LM311型集成运算放大器芯片,RS触发器采用或非门构成,时钟脉冲和小幅周期信号由双路输出信号发生器提供,负载电阻采用电子负载。参考电流变化时电感电流的实验时域波形如图9所示。t/(o4ms/格)‘(a)单周期波形o8一班已t/(o4ms/格)Co)倍周期波形10△△喜以,以.;苫j}}{};jt/(o4ms/格)t/(o4ms/格)‘(c)混沌波形13‘(d)加入控制之后的波形d=12图9电流反馈型Buck变换器实验波形Fig.9Experimentalwaveformsofthecurrentmodel_l1.一5一晦1v一李哲,等电流反馈型Buck变换器分岔动力学分析及稳定性控制一59.实验表明,随着参考电流的增大,电流反馈型[4]Buck变换器从稳定的周期1轨道发生倍周期分岔,最后进入混沌。在变换器未进入混沌之前,通过给参考电流加入一个小幅周期信号,对变换器进行稳定性控制之后,变换器又回到周期1状态,仿真和实验结果验证了本文所提理论的正确性。6结论LuJ本文将菲利波夫法应用于电流反馈型Buck变换器,分析了变换器在工作过程中可能出现的三个模态,得出了可以指示变换器稳定性的单值矩阵。仿真验证表明,变换器周期一轨道的稳定性与单值——矩阵的特征值Floquet乘子密切相关,在电路参数发生波动时,Floquet乘子的绝对值也会随着增大并最终穿出单位圆,变换器发生倍周期分岔进入不Lbj稳定状态。在此基础上得出了在一些可变参量,如参考电压、负载电阻变化时,周期l轨道的稳定域。这一稳定域过于狭窄以至电路参数的选取变得非常苛刻。所以通过给参考电流加入一个小幅周期信号,有效地拓展了变换器电路参数的选取范围,扩大了…系统工作的稳定区域。参考文献[1]刘宿城,周雒维,卢伟国,等.通过小信号环路估计『8]DC.DC开关变换器的大信号稳定区域预测[J].电工技术学报,2014,29(4):63-69.LIUSucheng,ZHOULuowei,LUWeiguo,eta1.E9]Predictionoflarge・-signalstabilityregionviasmall・-signal—loopsforDCDCswitchingconverters[J].TransactionsofChinaElectrotechnicalSociety,2014,29(4):63-69.[2]刘文颖,徐鹏,赵子兰,等.基于区间估计的风电出力多场景下静态电压安全域研究[J1.电工技术学报,—2015,30(3):172178.LIUWenying,XUPeng,ZHAOZilan,eta1.Aresearch[io3ofstaticvoltagestabilityregioninwindpowerscenariobasedonintervalestimation[J].TransactionsofChinaElectrotechnicalSociet—y,2015,30(3):172178.[3]邓大上,房鑫炎.电压稳定极限曲面法向量在分布式电源选址中的应用[J].电力系统保护与控制,2015,—43(5):5762.DENGDashang,FANGXinyan.Applicationofnormal[11]vectorofvoltagestabilitylimitsurfaceindistributedgenerationallocation[J].PowerSystemProtectionandControl,2015,43(5):57.62.马东娟,李玲玲.接触电阻时间序列的混沌特性识别与预测研究[J】.电力系统保护与控制,2015,43(10):57.61.MADon 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̄告,电“”力系统保护与控制h5指数为29,蝉联谷歌学术中文电力学科期刊第四,h5中位数指标37。谷歌学术自2012年推出谷歌学术计量评价系统以来,每年都发布谷歌学术指数的报告。2016版谷歌学术计量报告所收录的出版物需要满足如下标准,即:201卜2015年5年内发表至少100篇文章并且至少“”有1个引用。报告中的出版物不仅包括期刊,还包括计算机和电子工程学科内的会议论文集以及论文预印本电子数据库,该报告对八大领域的262类学科出版物进行引用排名分析,给出了12种不同语言出版物的前100名的信息。—h指数又称为h因子(hfactor),是目前国际上普遍认可并广泛应用的出版物重要学术评价指标之一。期刊的h指数是指评价期刊内所发表的全部文章中至多有h篇论文分别被引用了至少h次。h指数越高,表明期刊影响越大。h5指数,是指在过去5年(2011^2015年)中所发表文章的h指数。h5中位数,是指出版物的h5指数所涵盖的所有文章获得的引用次数的中位值。
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