基于全相位FFT改进相位差法的自动准同期并列参数测量.pdf

第４４卷第４期２０１６年２月１６日电力系统保护与控制ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ、，ｏ１．４４ＮＯ．４Ｆｅｂ．１６．２０１６ＤＯＩ：１０．７６６７／ＰＳＰＣ１５０６９２基于全相位ＦＦＴ改进相位差法的自动准同期并列参数测量张鸿博，蔡晓峰，鲁改凤（１．华北水利水电大学电力学院，河南郑州４５００１１；２．河南＿Ｔ－程学院机械工程学院，河南新郑４５１１９１）摘要：发电机准同期并列的关键在于对并列双方电压参数的快速准确测量。但由于并列双方电压频率不同，很难同时对双方电压做到同步采样，传统的基于快速傅里叶变换ｆＦａｓｔＦｌｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＦＴ）的准同期并列参数测量结果因频谱泄露产生较大误差。为抑制泄露，提高参数测量精度，引入了全相位频谱分析技术，并分析了全相位ＦＦＴ与常规卷积窗ＦＦＴ的区别与联系。在此基础上提出了基于全相位ＦＦＴ的发电机准同期参数测量方法，并对全相位ＦＦＴ相位差法进行了改进，提出了简洁的基波频率及幅值计算方法，使其更好地满足准同期并列的需要。通过仿真计算验证了所提方法性能优良，能有效克服频率波动、谐波、噪声及电压非稳态变化等不同情况的影响，实现并列双方电压参数的快速准确测量。关键词：准同期；全相位；快速傅里叶变换；窗函数；频谱校正Ｇｅｎｅｒａｔｏｒｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｉｍｐｒｏｖｅｄｐｈａｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｏｆａｌｌ－ｐｈａｓｅｆａｓｔＦｌｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍＺＨＡＮＧＨｏｎｇｂｏ，ＣＡＩＸｉａｏｆｅｎｇ，ＬＵＧａｉｆｅｎｇ（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒ，ＮｏｒｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＷａｔｅｒＲｅｓｏｕｒｃｅｓａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５００１１，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉｎｚｈｅｎｇ４５１１９１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔｉｓｔｈｅｋｅｙｔａｓｋｆｏｒａｕｔｏｍａｔｉｃｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｌｌｅｌｏｐｅｒａｔｉｏｎｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｂｏｔｈｇｅｎｅｒａｔｏｒｖｏｌｔａｇｅａｎｄｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｖｏｌｔａｇｅｒａｐｉｄｌｙａｎｄｐｒｅｃｉｓｅｌｙ．Ｈｏｗｅｖｅ￣ｄｕｅｔｏｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｗｏｖｏｌｔａｇｅｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ，ｉｔｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｐｅｒｆｏｒｍｔｈｅｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｓａｍｐｌｉｎｇｏｆｔｈｅｔｗｏｖｏｌｔａｇｅｓｉｇｎａｌｓｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ，ＳＯｗｈｅｎｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｂａｓｅｄｏｎｆａｓｔＦｌｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴｆｏｒｓｈｏｒｔ），ｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｗｉｌｌｈａｖｅａｇｒｅａｔｅｒｒｏｒ—ｂｅｃａｕｓｅｏｆｓｐｅｃｔｒｕｍｌｅａｋａｇｅ．Ｔｏｒｅｓｔｒａｉｎｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｌｅａｋａｇｅａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃ￣ｔｈｅｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆａｌｌｐｈａｓｅ—ｓｐｅｃｔｒｕｍａｎａｌｙｓｉｓｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．ＴｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎａｌｌｐｈａｓｅＦＦＴ（ａｐＦＦＴｆｏｒｓｈｏｒｔ）ａｎｄｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ・ｗｉｎｄｏｗＦＦＴｉｓａｎａｌｙｚｅｄａｎｄｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆａｐＦＦＴｉｓｐｏｉｎｔｅｄｏｕｔ．Ｂａｓｅｄｏｎｉｔ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｔｏｒｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｄｏｕｂｌｅ－ｗｉｎｄｏｗａｐＦＦＴｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ＴｏｍｅｅｔｔｈｅｎｅｅｄｓｏｆｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｂｅＲｅ￣ｔｈｅｃｏｍｍｏｎａｐＦＦＴｐｈａｓｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｐｅｃｔｒｕｍｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｉｍｐｒｏｖｅｄａｎｄａｃｏｎｃｉｓｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ￣ｅｑｕｅｎｃｙａｎｄａｍｐｌｉｔｕｄｅｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｖｅｒｉｆｙｔｈｅｅｘｃｅｌｌｅｎｔｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈＣａｎｏｖｅｒｃｏｍｅｔｈｅｉｍｐａｃｔｏｆ￣ｅｑｕｅｎｃｙｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ，ｈａｒｍｏｎｉｃ，ｎｏｉｓｅ，ｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｃｈａｎｇｅａｎｄｒｅａｌｉｚｅｒａｐｉｄａｎｄａｃｃｕｒａｔｅｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｔｗｏｖｏｌｔａｇｅｓｉｇｎａｌｓｏｆｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｑｕａｓｉｓｙｎｃｈ—ｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ；ａｌｌｐｈａｓｅ；ＦＦＴ；ｗｉｎｄｏｗｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｓｐｅｃｔｒｕｍｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎＯ引言自动准同期是发电机最常用的并列方式，同时也适用于电网解列的两部分或微电网与（大）电网之间的并列运行，其关键在于对并列双方电压信号频率、幅值以及相位的快速准确测量。目前，自动准同期参数测量方法主要分为硬件法和软件法［１］。硬件法是利用硬件电路实现对待并列两侧电压信号的频率差及相角差的测量，其运算简单，但需要专门的频率、相位检测电路，且存在抗干扰能力弱、易受高次谐波影响等缺点。软件法主要是对并列两侧电压进行交流采样并通过数值方法计算电压参数，张鸿博，等基于全相位ＦＦＴ改进相位差法的自动准同期并列参数测量．７７该方法不需专门的频率和相角测量电路，其测量精度及同期性能主要取决于频率、相位及幅值的微机算法。常用的同期并列参数测量算法是傅立叶变换算法Ｊ，但在非同步采样时受频谱泄露的影响会出现较大的误差【５Ｊ，而并列装置测量的２个电压信号（电网电压与发电机端电压）频率不等，且发电机电压的频率会在一个较大范围内变化，同时实现２个信号的整周期采样十分困难。加窗和频谱校正有利于抑制频谱泄露，提高参数测量精度】，基于此，文—献［２３】提出了基于Ｂａｒｔｌｅｔｔ窗ＦＦＴ相位差校正的准同期参量测量方法，实现了对准同期参量的较准确测量，但Ｂａｒｔｌｅｔｔ窗旁瓣峰值较高（－３０ｄＢ），且旁瓣衰减速度不够快（一６ｄＢ），不同步采样较为严重时负频分量和高次谐波产生的频谱泄露对基波测量影响较大。文献［４】提出了基于４阶Ｒｉｆｅ．Ｖｉｎｃｅｎｔ自卷积窗插值ＦＦＴ的准同期参数测量方法，该方法虽然测量精度高，但４阶剐ｆｅ．Ｖｉｎｃｅｎｔ自卷积窗主瓣太宽，为避免奇次谐波及负频分量频谱泄露对基波参数测量的影响，需要采样８个周期以上，实时性较差。为抑制频谱泄露，提高参数测量精度，并保证良好的实时性，本文引入了全相位频谱分析技术【ｏＪ，分析了全相位ＦＦＴ与常规卷积窗ＦＦＴ的区别与联系，指出了全相位ＦＦＴ的优势，在此基础上，提出了基于全相位ＦＦＴ（ａｌｌ－ｐｈａｓｅＦＦＴ，ａｐＦＦＴ）的准同期并列参数测量算法，并对全相位ＦＦＴ相位差法进行了改进，推导了简洁的基波频率及幅值计算公式，更好地满足准同期并列的需要。仿真验证了算法在恒定的采样频率下，可同时对并列双方电压参数进行测量，当频率在较大范围内变化时仍然能够达到较高精度，且数据窗口短，计算量小，实时性好。１全相位频谱分析原理全相位频谱分析大致过程如图１所示］。：：厂厂厂厂！±ｌＦＦＴｏ）１）ｙ（２）ｙ（３）图１阶全相位ＦＦＴ谱分析基本框图（＾仁４）Ｆｉｇ．１ＢｌｏｃｋｄｉａｇｒａｍｓｏｆＭ－ｏｒｄｅｒａｌｌ－ｐｈａｓｅＦＦＴｓｐｅｃｔｒｕｍａｎａｌｙｓｉｓ从图１可看出，首先用长为（２Ｍ－１）的卷积窗Ｗ＾对中心样点（０）前后（２Ｍ－１）个数据进行加窗处理，然后对两两间隔为的加窗后数据进行重叠相加形成个数据，最后作点数为的ＦＦＴ即得全相位谱分析结果。其中图１中的卷积窗由前窗厂与翻转的后窗ｂ卷积而成，即ｗｃ（，２）＝ｆ（ｎ）６（一，ｚ），ｎ＝［一Ｍ＋１，Ｍ一１］（１）若ｆ＝ｂ＝ＲＭ为矩形窗），则称为无窗全相位频谱分析，若户ｂ￣ＲＭ，则称为双窗全相位频谱分析。图１中若输入信号为单一频率信号‘—（，２）＝ｅ岛，ｎＥ［一＋１，Ｍｌ】（２）由文献［８】可知，双窗ａｐＦＦＴ输出的频谱与传统ＦＦＴ输出频谱问关系为…ｒ（ｋ）＝Ｉｘ（ｋ）ｌｅ＝ＩＷ（ｋＡ６ｏ一）ｒｅＪｅｏ。。。Ｌ）Ｊ…ｋ＝０，１，２，，一１其中：ｗ（ｃｏ）为双窗ａｐＦＦＴ频谱分析中所采用的窗函数的频谱；（为信号（）加，窗ＦＦＴ的频谱。从式（３）可以看出，双窗ａｐＦＦＴ输出的幅度谱为传统加窗ＦＦＴ幅度谱的平方，这种关系使旁瓣谱线相对于主谱线的比值也按照平方衰减，使主谱线显得更为突出，因此其频谱泄露抑制能力相对于原窗函数的传统ＦＦＴ更强；而且ａｐＦＦＴ的相位谱为中心样点（０）的理论相位值，该相位值不受频偏影响，不用校正，在一定程度上方便了相位的测量。２双窗ａｐＦＦＴ与常规卷积窗ＦＦＴ的联系由式（３）可知，对于幅值为１的单一频率信号，双窗ａｐＦＦＴ输出的幅度谱等于传统加窗ＦＦＴ幅度谱的平方，也等于窗函数的幅度谱的平方，设长度为Ｍ的组合余弦窗表达式为‘…ｗ（）＝（一１）ｂｅｃｏｓ（２ｎｎｉ／Ｍ）＝０，１，，Ｍ一１（４）式中：Ｈ为窗函数项数；为窗函数余弦项系数。其频谱为【９】＝）ｌ一＋２ｒｔｉ）．ｑｉ＝０１１＂Ｉｌ（５）厶ＬＪ式中，（为矩形窗的频谱函数，即（＝——ｅ－ｊ（１）２ｆｓｉｎ（Ｍｏ）／２）１。ｓｉｎ（ｏ）／２）／Ｉ当窗函数为Ｈａｎｎｉｎｇ窗时，由式（５）得其频谱为（ｃｏ）＝０．５（一５一＋于是Ｈａｒｍｉｎｇ窗幅度谱的平方表达式为．７８．电力系统保护与控制Ｉ（＝Ｉ。．５Ｇ（ｃｏ）一。．２５［（一２ｘ）＋（＋）］ｌ７…令＝２ｋ￣／Ｍ（ｋ＝０，１，２，，Ｍ一１）对其进行离散化可得Ｉ（）ｒ：１０．５ｃ２ｎｋｃ一＋ｃ＋ｌ『（８）对比文献［１ｏ】中关于Ｈａｎｎｉｎｇ自卷积窗的研究可以发现，由于自卷积窗的频谱等于原母窗频谱的ｐ次方为阶数），卷积窗的幅度谱也就等于原母窗幅度谱的次方，即Ｉ（）ｌ：‘‘ｌ０．５（．２ｎｋ）－ｏ一２５２ｒｃｋ一＋２ｒｔｋ＋２７［Ｉｆ（９）式中，Ｎｃ＝ｐＭ￣Ｊ卷积窗长度。因此二阶卷积窗的幅度谱为１（尼）Ｉ＝ｌ０．５ｃ２５１２ｎｋ一＋ｃ２ｎｋ＋ｌＩ（１０）对比式（８）、式（１０）可以发现，二者都是对式（７）离散化所得，但离散化的频率间隔不同，式（８）的离散间隔为２７ｔｉＭ，而式（１０）的离散间隔为２７ｔ／＝兀／Ｍ。由此也可以断定，ａｐＦＦＴ中第ｋ－－ｊ（ｕ，＝…０，１，２，，Ｍ一１）条谱线的幅值与基于二阶卷积窗常规ＦＦＴ中的第ｋ＝２，条谱线具有相同的幅值。为验证这个结论，在Ｍａｔｌａｂｑｂ对式（２）中的信号分别进行了基于Ｈａｎｎｉｎｇ窗的ａｐＦＦＴ分析和基于二阶Ｈａｎｎｉｎｇ卷积窗的常规ＦＦＴ分析，式中ＣＯ＝ｎ／１０，＝ｒｔ／６，Ｍ：１２８二者的幅度谱如图２所示。图２中的谱线关系验证了上述分析的正确性，让在（０，兀）、ｏｏ在（０，２兀）取其他值并进行同样的仿真得到一致的结论。由此可见，Ｈａｎｎｉｎｇ双窗ａｐＦＦＴ与基于二阶Ｈａｎｎｉｎｇ自卷积窗的常规ＦＦＴ具有共同的幅度谱特性（（但二者相位谱不同，离散化频率抽样间隔也不同））。实际上，从图１ａｐＦＦＴ的实现原理看，ａｐＦＦＴ也就是用卷积窗对采样数据进行加权的，只是由于全相位预处理过程使得ａｐＦＦＴ与常规卷积窗ＦＦＴ的相位特性变得不同。但双窗ａｐＦＦＴ相比常规卷积窗ＦＦＴ有自己的独特之处：（１）可以不必校正的测量出采样中心点的相位；”（２）计算量小，２Ｍ－１点（（为２的整次幂））的采样序列，ａｐＦＦＴ只需进行点ＦＦＴ，而常规加窗ＦＦＴ需要进行２Ｍ￣ＦＦＴ（通过补零或多采样一个点构成２），ａｐＦＦＴ计算量小于常规加窗ＦＦＴ，这使得ａｐＦＦＴ在对算法实时性要求较高的应用中具有速度优势。１・Ｏ０５ｅ０●‘‘｛－。｝，、．．＇＼Ｊ＾＾００５０１００ｌ５数字角频率……ｏ卷积窗ＦＦＴ的离散幅度谱线————０全相位ＦＦＴ的离散幅度谱线一一卷积窗的连续幅度谱曲线图２全相位ＦＦＴ与传统卷积窗ＦＦＴ的幅度谱Ｆｉｇ．２Ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆａｌｌ－ｐｈａｓｅＦＦＴａｎｄｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ．ｗｉｎｄｏｗＦＦＴ以上分析表明，可以用卷积窗的特性来分析双窗ａｐＦＦＴ的频谱泄露抑制能力，根据文献【１０】可知，二阶Ｈａｎｎｉｎｇ卷积窗的最大旁瓣峰值为一６４ｄＢ，旁瓣衰减速率为３６ｄＢ／ｏｃｔ，优于文献［２】中的Ｂａｒｔｌｅｔｔ窗。另外值得一提的是与常规余弦窗（比如Ｈａｎｎｉｎｇ￣［、Ｎｕｔｔａｌｌ窗［１３－１５］、Ｒｉｆｅ。Ｖｉｎｃｅｎｔ￣［）相比，卷积窗还有一个突出优势，即其幅度谱在零点附近导数为Ｏ（具有很平坦的特性），文献［１７．１８】对矩形自卷积窗的这一特性进行了详细地论证，实际上根据卷积窗幅度谱与原母窗幅度谱的关系（如式（９））及复合幂函数的求导公式（ｄ［ｆ（ｘ）Ｆ／ａｘ＝厂（）ｒｆ（）），不难证明余弦自卷积窗均有类似的特征。这一特征使得余弦自卷积窗在接近同步采样的情况下具有优于常规余弦窗的频谱泄露抑制能力，有利于获得高精度的测量结果，而自动准同期在即将完成并列时，发电机频率和电网频率均接近５０Ｈｚ，设置适当的采样频率很容易达到接近同步采样的条件，从而充分发挥卷积窗的优势。当然，有一些卷积窗旁瓣特性也很优良，比如Ｒｉｆｅ．Ｖｉｎｃｅｎｔ自卷积窗【４Ｊ，Ｎｕｔｔａｌｌ自卷积窗【Ｊ，但它们的主瓣较宽，为避免高次谐波及负频分量频谱泄露对基波参数测量的影响，需要采样很多信号周期，实时性较差。因此，这里综合考虑了算法精度与实时性的要求，选择采用Ｈａｎｎｉｎｇ窗的双窗ａｐＦＦＴ来实现准同期并列参数的测量。张鸿博，等基于全相位ＦＦＴ改进相位差法的自动准同期并列参数测量．７９．３基于ａｐＦＦＴ改进相位差法的自动准同期参数测量由于双窗ａｐＦＦＴ优良的频谱泄露抑制能力、相位测量上的便利性及速度优势使其非常适合于发电机自动准同期并列过程中的参数测量。但由于准同期并列过程中对信号参数测量的实时性要求高，双窗ａｐＦＦＴ用于自动准同期时仍需特别设计和改进。首先信号的截断周期不易太长，采样点不易过多，当然为避免高次谐波频谱泄露对基波测量的影响，截断周期也不能过短，这里取４个额定工频周期（丁Ｏ．０２ｓ）。其次，为获得并列双方电压基波的准确信息需要对ａｐＦＦＴ谱进行插值校正，相位差法是ａｐＦＦＴ频谱校正的常用方法Ｌ８Ｊ，但对于准同期并列来讲，要求实时监测并列双方的电压参数，相位差法中两段数据的间隔设定不能太大，这里直接将两段数据的间隔取为ｌ，这样，每隔一个采样点就可以计算电压频率、幅值、相位参数，实时性好。不妨记两段采样序列为““…１＝｛（１），（２），（３），，ｕ（２Ｍ－１））；…２＝｛甜（２），（３），（４），，ｕ（２Ｍ））。通过ａｐＦＦＴ计算可以得到两个序列的ａｐＦＦＴ频谱，在２０～７０Ｈｚ之间找到幅值最大的谱线，取其实部虚部分别记为１、，２、，设两个采样序列△中心点的相位分别为、，记＝一，则△ｔａｎ（）：二—：Ｒ，Ｉ２－—Ｒ２６：ｙ（１１）一‘１＋２１／墨Ｒ＋１２△所以＝ａｒｃｔａｎ（ｙ）。常规的相位差校正算法直接调△用反三角函数计算，运算量较大，实际上这里由于两段数据只间隔一个采样间隔，因此相位差为Ａ￣ｏ＝２一＝２（１２）而如果信号频率是额定工频ｊａ＝５ｏＨｚ，则两段信号的相位差为△＝：一＝２（１３）由于在算法设计时可事先确定下来，因此△是一个确定的值。△△令＝一Ａ＝２ｒｔ（ｆ一）（１４）则ｚＸＣＯｚ也就反应了实际频率ｌ厂偏离（５０Ｕｚ）的程度，根据—ｔａｎ（Ａｒｐｚ）＝ｔａｎ（ＡｇｏＡ）＝ｔａｎ（Ａｔｐ）一ｔａｎ（Ａ）（１５）１＋ｔａｎ（Ａｆｏ）ｔａｎ（Ａ）将式（１１）带入式（１５），并令ｆ＝ｔａｎ（Ａ￣ｐｏ）整理化简可得ｔａｎｃ：等由于Ａ（Ｐｏ是一个确定的值，因此可以离线计算出来。设采样频率ｆ￣＝８ｏｏＨｚ，当ｌ厂在３０Ｎ７０Ｈｚ范围内△时，ＩＩ＝｛２￣ｔ（ｆ－ｆｏ）Ｔｓｌ＜０．１５８，实际应用中采样△频率一般不低于８００Ｈｚ，则ｌｆ可能更小。由于△ＡＣＯｚ很小，ｘ（－－）ｔＭ￣４，。根据反正切的泰勒级△一咖）＝（－１）由于Ｘ较小，不用取太多项就可以获得足够的△精度，因此，这里取展开式的前两项直接计算，ＡＧ＝ｘ一／３（１７）△根据可以求出信号频率，由式（１４）不难得厂：．＋ｆｏ（１８）频率偏差可由式（１９）、式（２０）计算：（１９）＝’ｋ一ｒｏｕｎｄ（ｋ）（２０）式（２０）中，ｒｏｕｎｄ表示四舍五入函数。求得频率偏差后，可以进行幅值校正。为此，对式（３）做进一步化简，由于：Ｗ（ｋＡｏ一）：Ｗ［Ａｃｏ（￣一）］＝△ｆ２ｌ１［（．）］）一—其中：ｋ＝ＩＡｃｏ；＝ｋｋ。因此式（３）可简写为ｙ（）＝ＩＷ（２ｕ￣／Ｍ）［ｅＪａｏ（２２）而对式（５）令ＣＯ＝２￣ｔ２／Ｍ并化简可得［１３］：—（２ｘ—Ａ、：‘—’ｓｉ１ｎｃ７ｃｅｊ（一１）鲁：：辫（２３）一般较大，在窗函数主瓣内Ｉ±ｉＩ《Ｍ，因．８０．电力系统保护与控制＋鲁・Ｉ（２４）对于Ｈａｎｎｉｎｇ窗易得剥ｌｃｚｓ设＝ｒｏｕｎｄ（ｋ），＝ｋ一，根据第条谱线和频率偏差理论上可以按式（２６）计算基波幅值：＝＝￣．８５（１－６２）１１ｌ（２６Ｗ（２￣６／Ｍ）ＩＭｓｉｎ０ｔ６）ｌ１Ｏ．５）ｌ但式（２６）中当接近于０时，分子分母都是很小的数，这时如果直接进行除法运算，对于定点处理器来讲难以保证精度；而且通常处理器进行高精度的除法运算也比较耗时。为此，令ｖ（ｂ３：，通过多项式逼近方式将ｖ（转化为一系列乘法运算，将在［＿－０．５，０．５】问等间隔取点并计算对应的ｖ（，然后通过Ｍａｔｌａｂ中的多项式拟合函数ｐｏｌｙｆｉｔ（６，１，（，）求得拟合多项式，其中ｍ为多项式最高次幂。由此可得：ｖ（６３＝１．９９９９９８９４＋１．２９００１８４７６＋０．４９５０１０３４６＋０．１７５９３１０９８、２７）’（根据上式计算ｖ（的过程中只有乘法，没有除法，通过该式计算基波幅值不但有利于嵌入式系统实现，而且保证了运算精度。观察式（１７）、式（２７）不难看出，改进后的ａｐＦＦＴ相位差频谱校正算法频率和幅值计算公式均由多项式实现，计算量小，易于在嵌入式系统中实现。信号的相位根据全相位ＦＦＴ的水平相位特性，可直接取主瓣内幅值最大的谱线的相位作为采样序列中心点对应的相位。但自动准同期并列过程中关心的是最后采样时刻并列两侧电压信号的相位差，因此需要对中间时刻相位进行移相以得到最后采样时刻的相位（式（２８））。ｎｄ＝９ｍ＋２，￣ｆａｇｒ（２８）式中：代表信号采样序列中间时刻的相位；．厂代表信号频率。因此两个信号采样终点时刻的相位差为ｉｆｒ＝ｌ一（Ｐｒｏ２＋２１ｒ（ｆ一）ａｇｒ￣（２９）式中：、．代表信号１的采样中间时刻的相位及信号频率；９ｍ２、代表信号２的采样中问时刻的相位及信号频率。４仿真分析４．１基于全相位ＦＦＴ的准同期并列参数测量流程（１）确定合适的信号采样频率，并根据采样频率设定信号截断长度（２Ｍ－１）接近４个额定工频周期；生成点Ｈａｎｎｉｎｇ窗，之后计算其２ｌ点自卷积窗；（２）用采样频率对发电机电压和电网电压连续采样形成两个电压采样序列（），（，ｚ）；（３）当前采样点数大于２１后，从当前采样序列（刀）中取最新采样点开始向前的连续２Ｍ－１个采样点构成序列ｌ（），并将数据窗口前移１个间隔再取构成序列Ｕｇ２（ｎ），对１（）、Ｕｇｚ（ｎ）进行Ｈａｎｎｉｎｇ窗双窗ａｐＦＦＴ，在２０～８０Ｈｚ之间搜索幅值最大谱线，根据文中相位差校正法计算发电机电压的频率、幅值、相位参数；（４）根据（３）中同样的方法对计算电网电压的频率、幅值、相位参数；（５）计算发电机电压与系统电压的频率差、幅值差及相角差，并判断是否满足相位差、频率差和幅值差并列条件；进一步计算滑差、滑差变化率、恒定越前时间，以捕捉同期点，并进行并列控制。仿真中，采样频率选取为１６００Ｈｚ，Ｈａｎｎｉｎｇ窗长度取６４，卷积窗长度为１２７，信号采样长度为１２７，近似为４个额定工频周期。４．２频率波动对测量结果的影响发电机并列操作时，发电机侧电压频率会在较大范围内发生波动，因此要求算法也能在较大频率范围内获得较高精度。设电压信号仿真模型时域表达式为ｘ（ｔ）：１０ｃｏｓ（２￣ｆｏ，＋兀／６）（３０）设置频率变化范围分别为４０～６０Ｈｚ、４８～５２Ｈｚ，其余参量保持不变，算法频率、相位、幅值计算结果误差如图３所示，为对比起见，图３中也给出了文献［２］中算法的误差曲线。从图３可以看出，在频率偏离５０Ｈｚ较多时，采样不同步程度较大，文献［２】的算法误差较大，这是因为Ｂａｒｔｌｅｔｔ窗旁瓣峰值较高（一３０ｄＢ），对负频分量产生的长程谱泄露抑制作用有限；而本文算法由于ｈａｎｎｉｎｇ卷积窗旁瓣峰值低，抑制泄露能力强，保持了较高精度，在４０～６０Ｈｚ的频率范围内，其频率误差小于０．０３Ｈｚ，幅值误差小于０．０６％，相位误差小于０．００４。。在４８￣５２Ｈｚ之间时Ｌ２（并列装置投入运行时，发电机机端电压频率一般处于４８～５２Ｈｚ之间，两种算法计算精度均较高，其中本文算法频率误差小于０．０００５Ｈｚ、幅值误差小于０．０００４％、相位误差小于０．０００２。，一般仍优于文献［２１的算法。张鸿博，等基于全相位ＦＦＴ改进相位差法的自动准同期并列参数测量．８１．４耍０５０６０塞Ｘ１０，３臣国４０５０６Ｏ频率／Ｈｚ（ｃ）幅值误差（４０－６０Ｈｚ）４８５Ｏ５２频率／Ｈｚ（ｄ）幅值误差（４８－－５２Ｈｚ）因囡４Ｏ５Ｏ６ｏ４８５Ｏ５２频率／Ｈｚ频率／Ｈｚ（ｅ）相位误差（４０－６０Ｈｚ）（ｆ）相位误差（４８￣５２Ｈｚ）……－文献［２］算法一本文算法图３频率变化对测量结果的影响Ｆｉｇ．３Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｆｆｅｑｕｅｎｃｙｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｏｎｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ４．３谐波对测量结果的影响由于非同步采样产生的频谱泄露，谐波会对基波的计算结果产生影响，谐波含量大小直接影响到准同期参量的测量结果，考虑到电力系统对电能质量的要求，一般并网发电机要满足谐波要求【２们，因此设置２～５次谐波注入比例分别占基波０．５％、５％、０．５％和５％，忽略更高次谐波的影响，当基波频率范围为４Ｏ～６０Ｈｚ，基于本文方法的准同期参量测量结果如图４所示。Ｅ囊糌Ｐｌ嚣。。———＿螓频率／Ｈｚ（ａ）频率误差（４０－６０Ｈｚ）频率／Ｈｚ（ｃ）幅值误差（４０￣６０Ｈｚ）－０－０５匡錾１．：：：ｊ罂……・文献Ｉ２＇算法一本文算法图４谐波对测量结果的影响Ｆｉｇ．４Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｍｐｏｎｅｎｔｏｎｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ由图４可知，在考虑谐波的情况下，本文算法计算准同期参量仍然保持了较高精度，且一般仍优于文献［２］中的算法。在４０～６０Ｈｚ的频率范围内，本文算法频率误差小于Ｏ．０３Ｈｚ，幅值误差小于０．０５％，相位误差小于０．０４。；在４８～５２Ｈｚ时，本文算法计算结果频率误差小于０．０００５Ｈｚ、幅值误差小于０．０００４％、相位误差小于Ｏ．０００６。。测量精度与不考虑谐波时的精度基本相当，表明了算法良好的泄露抑制能力。由此可见，本文算法能有效克服谐波对测量结果精度的影响。４．４噪声对测量结果的影响准同期参量测量现场不可避免的会存在着各种各样的环境噪声，为分析噪声对准同期参量计算结果的影响，对４．３节中的谐波信号模型加入信噪比为３０～１００ｄＢ的高斯白噪声，基波频率为４８～５２Ｈｚ时，对准同期参量进行仿真计算，其结果见图５。０．５０ｊｌｌ＿｛－０５——１．０５２（ａ）频率误差（ｂ）幅值误差（ｃ）相位误差图５白噪声对测量结果的影响Ｆｉｇ．５Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｗｈｉｔｅｎｏｉｓｅｏｎｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ自固目自圈盆．８２．电力系统保护与控制从图５中可以看出，噪声对测量结果有一定影响，当信噪比小于４０ｄＢ时，误差较大，随着信噪比的增大，误差逐渐减小，当信噪比大于６０ｄＢ时，频率、幅值、相位测量误差分别小于０．００２Ｈｚ、０．０２％、０．０１。，能较准确测量准同期并列参量。当然在实际应用中采用一定的软硬件抗噪声措施、选择低噪声的元器件有利于提高参数测量精度。４．５非稳态信号模型的仿真分析发电机并列操作时，机端电压幅值及频率均会在较大范围内发生波动，其电压信号严格意义上来说是一个非稳态信号，当发电机电压信号为非稳态信号时，对本文方法精度的影响效果如何是必须考虑的问题。设并列操作时，发电机机端电压信号为（ｆ）＝Ａｃｏｓ（２ｎｆＧｆ＋３Ｏ。）＋５ｃｏｓ（２ｒｔ￣３Ｌｔ＋５９．３０。）式中：Ａ＝９５＋ｔ，即电压幅值从９５Ｖ开始以１Ｗｓ的速度上升，ｆ为时间（单位为ｓ）；ｆ￣＝４５＋ｔ，即频率从４５Ｈｚ开始以１Ｈｚ／ｓ的速度上升。图６为１～１０ｓ时间段内，运用本文方法的电压频率、相位以及幅值测量结果。图６非稳态信号时的测量结果Ｆｉｇ．６Ｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｆｏｒｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｓｉｇｎａｌ由图６可知，当电压信号为非稳态信号时，准同期参量计算精度会有一定程度的下降，这主要有两个方面的原因：（１）发电机频率偏离５０Ｈｚ导致不能同步采样；（２）发电机频率和幅值不断变化，信号不是严格的周期信号。Ｈａｎｎｉｎｇ双窗ａｐＦＦＴ具有优良的频谱泄露抑制能力，原因１引起的误差很小，因此原因２是产生误差的主要因素。但从仿真结果看，在文中仿真模型下，算法频率误差小于０．００２Ｈｚ、幅值误差小于０．００８％、相位误差小于０．０２。，仍能较准确地实现准同期参数的测量。如果发电机幅值、频率变化速率较小，原因２对计算结果精度的影响还会进一步减弱。５结论（１）双窗全相位ＦＦＴ与基于二阶卷积窗的常规ＦＦＴ具有相同的幅度谱表达式，不过二者离散化谱线的频率间隔不同；另ＣＶ－－者均具有优良的频谱泄露抑制能力，尤其在接近同步采样的情况下泄露抑制能力更为突出：全相位ＦＦＴ在计算速度上具有优势，更适合对算法实时性要求较高的应用。（２）提出的基于全相位ＦＦＴ改进相位差法的发电机准同期并列参量测量方法，基波频率和幅值计算公式简单，计算量小，实现方便。该方法能较好的克服频率波动、谐波、噪声等情况的影响，实现并列双方电压参数的高精度测量，即使在非稳态信号情况下，算法也能达到较高精度，而且算法不要求对信号同步采样，硬件要求低，且计算量小。参考文献［１］叶念国．由我国同期装置的现状所引发的思考ｆＪ］．电网技术，１９９８，２２（１２）：７４．７７．ＹＥＮｉａｎｇｕｏ．ＣｕｒｒｅｎｔｓｉｔｕｍｉｏｎａｎｄｅｘｉｓｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｃｕｒｒｅｎｔｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｒｓｉｎＣｈｉｎａ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙ￣ｅｍ—Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１９９８，２２（１２）：７４７７．［２］黄纯，何怡刚，江亚群．一种新的自动准同期并列算—法的研究［Ｊ］．中国电机工程学报，２００５，２５（３）：６０６４．ＨＵＡＮＧＣｈｕｎ，ＨＥＹｉｇａｎｇ，ＪＩＡＮＧＹａｑｕｎ．Ｎｏｖｅｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒａｕｔｏｍａｔｉｃｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ—ｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２００５，２５（３）：６０６４．［３］江亚群，何怡刚，黄纯，等．双单片机实现的双原理自动准同期并列装置［Ｊ］．电力自动化设备，２００９，２９（４）：８７．９Ｏ．ＪＩＡＮＧＹａｑｕｎ，ＨＥＹｉｇａｎｇ，ＨＵＡＮＧＣｈｕｎ，ｅｔａ１．Ｄｕａｌ－－ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ－－ｂａｓｅｄａｕｔｏｍａｔｉｃｑｕａｓｉ・・ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ‘ｄｅｖｉｃｅｗｉｔｈｔｗｏＭＣＵｓ［Ｊ］．ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ—Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ，２００９，２９（４）：８７９０．［４］李永刚，张文静，武玉才，等．基于Ｒｉｆｅ．Ｖｉｎｃｅｎｔ自卷积窗插值校正的发电机准同期参量测量方法『Ｊ］．电网技术，２０１４，３８（２）：３６８．３７４．ＬＩＹｏｎｇｇａｎｇ，ＺＨＡＮＧＷｅｎｊｉｎｇ，ＷＵＹｕｃａｉ，ｅｔａ１．ＧｅｎｅｒａｔｏｒｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎＲｉｆｅ．Ｖｉｎｃｅｎｔｓｅｌｆ－ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｗｉｎｄｏｗａｎｄｉｍｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１４，３８（２）：３６８－３７４．［５］田文博，余健明，马小津，等．Ｄｏｌｐｈ．Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ窗插值ＦＦＴ的谐波参数估计［Ｊ】．电力系统及其自动化学报，张鸿博，等基于全相位ＦＦＴ改进相位差法的自动准同期并列参数测量．８３．ＴＩＡＮＷｅｎｂｏ，ＹＵＪｉａｎｍｉｎｇ，ＭＡＸｉａｏｊｉｎ，ｅｔａ１．ＥｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｓｐａｒａｍｅｔｅｒｓｂａｓｅｄｏｎＤｏｌｐｈ－ＣｈｅｂｙｓｈｅｖｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ—ｔｈｅＣＳＵ－ＥＰＳＡ，２０１４，２６（２）：５０５４．［６］王兆华，侯正信，苏飞．全相位ＦＦＴ频谱分析［Ｊ］．通信学报，２００３，２４（１１Ａ）：１６．１９．ＷＡＮＧＺｈａｏｈｕａ，ＨＯＵＺｈｅｎｇｘｉｎ，ＳＵＦｅｉ．Ａｌｌ－ｐｈａｓｅＦＦＴｓｐｅｃｔｒｕｍａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｎＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２００３，２４（１１Ａ）：１６・１９．［７］黄翔东，王兆华．全相位ＤＦＴ抑制谱泄漏原理及其在频谱校正中的应用［Ｊ］．天津大学学报，２００７，４０（７）：５７４．５７８．ＨＵＡＮＧＸｉａｎｇｄｏｎｇ，ＷＡＮＧＺｈａｏｈｕａ．Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆ’ａｌｌ－ｐｈａｓｅＤＦＴｓｒｅｓｔｒａｉｎｉｎｇｓｐｅｃｔｒａｌｌｅａｋａｇｅａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇｓｐｅｃｔｒｕｍ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７，４０（７）：５７４－５７８．［８］黄翔东，王兆华．全相位时移相位差频谱校正法［Ｊ］．天津大学学报，２００８，４１（７）：８１５－８２０．ＨＵＡＮＧＸｉａｎｇｄｏｎｇ．ＷＡＮＧＺｈａｏｈｕａ．Ａｌ１．ｐｈａｓｅｔｉｍｅ－ｓｈｉｆｔｐｈａｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇｓｐｅｃｔｒｕｍｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００８，４１（７）：８１５－８２０．［９］陈国志，陈隆道，蔡忠法．基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗插值ＦＦＴ的谐波分析方法［Ｊ］．电力自动化设备，２０１１，３ｌ（４）：２７－３１．ＣＨＥＮＧｕｏｚｈｉ．Ｃ船ＮＬｏｎｇｄａｏ．ＣＡ／Ｚｈｏｎｇｆａ．ＨａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴ［Ｊ］．ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＡｕｔｏｍａｔｉ０ｎＥｑｕｉｐｍｅｎｔ，２０１１，３ｌｆ４）：２７－３１．［１０］温和，滕召胜，卿柏元．Ｈａｎｎｉｎｇ自卷积窗及其在谐波分析中的应用［Ｊ］．电工技术学报，２００９，２４（２）：１６４－１６９．ＷＥＮＨｅ，ＴＥＮＧＺｈａｏｓｈｅｎｇ，ＱＩＮＧＢａｉｙｕａｎ．Ｈａｎｎｉｎｇｓｅｌｆ－ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｗｉｎｄｏｗｓａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ［．ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆＣｈｉｎａＥｌｅｃｔｒｏｔｅｃｈｎｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２００９，２４（２）：１６４－１６９．［１１］任子晖，付华科，李伟泺．基于全相位傅里叶变换的煤矿电网电能质量分析［Ｊ］．电力系统保护与控制，—２０１１，３９（２２）：１０３１０７．ＲＥＮＺｉｈｕｉ，ＦＵＨｕａｋｅ，ＬＩＷｅｉｌｕｏ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｐｏｗｅｒｑｕａｌｉｔｙｏｆｃｏａｌｍｉｎｅｇｒｉｄｂａｓｅｄｏｎａｌｌ－ｐｈａｓｅｆａｓｔＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１１，３９（２２）：１０３－１０７．［１２］王刘旺，黄建才，孙建新，等．基于加汉宁窗的ＦＦＴ高精度谐波检测改进算法［Ｊ］．电力系统保护与控制，２Ｏ１２．４０（２４）：２８－３３．ＷＡＮＧＬｉｕｗａｎｇ，ＨＵＡＮＧＪｉａｎｃａｉ，ＳＵＮＪｉａｎｘｉｎ，ｅｔａ１．ＡｎｉｍｐｒｏｖｅｄｐｒｅｃｉｓｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＨａｎｎｉｎｇｗｉｎｄｏｗｅｄＦＦＴ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍ—ＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１２，４０（２４）：２８３３．［１３］卿柏元，滕召胜，高云鹏，等．基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗双谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析方法［Ｊ］．中国电机工程学报，—２００８，２８（２５）：１５３１５８．ＱｒＮＧＢａｉｙｕａｎ，ＴＥＮＧＺｈａｏｓｈｅｎｇ，ＧＡＯＹｕｎｐｅｎｇ，ｅｔａ１．ＡｎａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＮｕｔｔａＵｗｉｎｄｏｗｄｏｕｂｌｅ．ｓｐｅｃｔｒｕｍ．１ｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２００８，２８（２５）：１５３－１５８．［１４］许珉，杨阳，陈飞，等．基于Ｎｕｔｔａｌｌ（Ｉ）窗的插值ＦＦＴ算法『Ｊ１．电力系统保护与控制，２０１１，３９（２３）：４４－４８．ＸＵＭｉｎ，ＹＡＮＧＹａｎｇ，ＣＨＥＮＦｅｉ，ｅｔａ１．ＡｎｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＮｕｔｔａｉｌ（Ｉ）ｗｉｎｄｏｗ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１１，３９（２３）：４４－４８．［１５］翟瑞淼，英超，任国臣，等．基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗的三峰插值谐波算法分析ｆＪ１．电力系统保护与控制，２０１５，—４３（１０）：３８４３．ＺＨＡＩＲｕｉｍｉａｏ，Ｙ１ＮＧＣｈａｏ．ＲＥＮＧｕｏｃｈｅｎ．ｅｔａ１．ＡｎａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗ—ａｎｄｔｒｉｐｌｅ－ｓｐｅｃｔｒａｌｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍ—ＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１５，４３（１０）：３８４３．［１６］黄冬梅，龚仁喜，焦凤昌，等．莱夫．文森特窗三谱线插值的电力谐波分析［Ｊ］．电力系统保护与控制，２０１４，—４２（２）：２８３４．ＨＵＡＮＧＤｏｎｇｍｅｉ，ＧＯＮＧＲｅｎｘｉ，ＪＩＡＯＦｅｎｇｃｈａｎｇ，ｅｔａ１．—ＰｏｗｅｒｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＲｉｆｅＶｉｎｃｅｎｔｗｉｎｄｏｗ——ａｎｄｔｒｉｐｌｅｓｐｅｃｔｒａｌｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍ—ＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１４，４２（２）：２８３４．［１７］张介秋，梁昌洪，陈硕圃．基于卷积窗的电力系统谐波理论分析与算法［Ｊ］．中国电机工程学报，２００４，—２４（１１１：４８５２．ＺＨＡＮＧＪｉｅｑｉｕ，ＬＩＡＮＧＣｈａｎｇｈｏｎｇ，ＣＨＥＮＹａｎｐｕ．Ｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｈａｒｍｏｎｉｃｔｈｅｏｒｙａｎａｌｙｓｉｓａｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｗｉｎｄｏｗ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２００４，２４（１１）：４８－５２．［１８］黄纯，江亚群．谐波分析的加窗插值改进算法［Ｊ］．中国电机工程学报，２００５，２５（１５）：２６．３２．ＨＵＡＮＧＣｈｕｎ，ＪＩＡＮＧＹａｑｕｎ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄｗｉｎｄｏｗａｎｄｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒａｎａｌｙｓｉｓｏｆｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｈａｒｍｏｎｉｃｓ［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