基于Nuttall窗四谱线插值FFT的电力谐波分析.pdf

第４４卷第３期２０１６年２月１日电力系统保护与控制ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏ１、，０１．４４Ｎｏ．３Ｆｅｂ．１，２０１６Ｄ０Ｉ：１０．７６６７／ＰＳＰＣ１５０６２６基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析李得民，何怡刚（合肥工业大学电气与自动化工程学院，安徽合肥２３０００９）摘要：快速傅里叶变换（ＦａｓｔＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＦＴ）在非同步采样和非整数周期截断时难以精确检测谐波各参数。加窗和插值算法可提高ＦＦＴ的精确度。分析了Ｎｕｔｔａｌｌ窗的频谱特性，提出了基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析算法。该算法充分利用峰值谱线频点附近的四条谱线进行加权运算以提高谐波分析精度，运用多项式拟合推导出实用的插值修正公式。仿真结果验证了在非同步采样时，该算法检测谐波的精度更高，有效地抑制了频谱泄漏。关键词：非整数周期截断；Ｎｕｔ－ｔａｌｌ窗；四谱线插值；峰值谱线频点；多项式拟合ＨａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｏｎＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗｆｏｕｒ－ｓｐｅｃｔｒｕｍ－ｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴＬＩＤｅｍｉｎ，ＨＥＹｉｇａｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０００９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｒｅＩＳｄｉｆｆｉｃｕｌｔｆｏｒＦａｓｔＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｅｘａｃｔｈａｒｍｏｎｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｎｏｎ・ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｄｓａｍｐｌｉｎｇａｎｄｎｏｎ・ｉｎｔｅｒｇｅｒｃｙｃｌｅｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ．ＵｔｉｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｗｉｎｄｏｗｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｃａｎｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆＦＦＴ．ＴｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗａｒｅａｎａｌｙｚｅｄａｎｄａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ—ｂａｓｅｄｏｎＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗｆｏｕｒ－ｓｐｅｃｔｒｕｍｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｗｅｒｈａｒｍｏｎｉｃ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｈａｓｉｍｐｒｏｖｅｄｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂｙｕｓｉｎｇｗｅｉｇｈｔｅｄａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｆｆｏｕｒｓｐｅｃｔｒａｌｌｉｎｅｓｎｅａｒｔｈｅｐｅａｋｓｐｅｃｔｒｕｍ－ｌｉｎｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｐｏｉｎｔ．Ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｆｏｒｍｕｌａｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｆｉｔｔｉｎｇｏｆｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ．Ｓｉｍｕｌｍｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｖｅｒｉｆｙａｈｉｇｈｅｒａｃｃｕｒａｃｙｏｆｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓａｎｄａｂｅｔｔｅｒｅｆｆｅｃｔｏｆｒｅｓｔｒａｉｎｉｎｇｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｌｅａｋａｇｅｉｎｎｏｎ－ｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚｅｄｓａｍｐｌｉｎｇｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ＴｈｉｓｗｏｒｋｉｓｓｕｐｐｏｓｅｄｂｙＮａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｕｎｄｆｏｒＤｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄＹｏｕｎｇＳｃｈｏｌａｒｓ（Ｎｏ．５０９２５７２７）．——Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｉｎｔｅｒｇｅｒｃｙｃｌｅｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ；Ｎｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗ；ｆｏｕｒ－ｓｐｅｃｔｒｕｍ．１ｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｐｅａｋｓｐｅｃｔｒｕｍｌｉｎｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｐｏｉｎｔ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔ０引言电力系统中的各类非线性设备给电网带来大量谐波，导致电能质量恶化【Ｊ】。为了维护电网的安全稳定运行，高精度的谐波成分检测具有重要意义。目前谐波分析最常用的方法是快速傅里叶变换（ＦＦＴ）。当被测信号的频率变化导致非同步采样时，ＦＦＴ存在频谱泄漏现象【４Ｊ，无法精确检测谐波的幅基金项目：国家杰出青年科学基金（５０９２５７２７）；国防科技计划项目（Ｃ１１２０１１０００４、９１４０Ａ２７０２０２１１ＤＺ５１０２）；教育部科学技术研究重大项目（３１３０１８）；安徽省科技计划重点项目（１３０１０２２０３６）；安徽省自然科学基金项目（１６０８０８５ＱＦ１５７）值、频率和相位等参数。电网频率存在波动ｌ引，即使采用离散锁相环技术也很难实现同步采样［。采用性能优良的窗函数可以有效抑制频谱泄漏，对结果进行插值校正可减小栅栏效应引起的误差Ｊ。常Ⅲ—用的窗函数有ＢｌａｃｋｍａｎＪ、ＢｌａｃｋｍａｎＨａｒｒｉｓ窗ｌｌ、—ＲｉｆｅＶｉｎｃｅｎｔ窗ｌＪ２Ｊ和Ｎｕｔｔａｌｌ窗【Ｊ刮等。应用较多的插值算法有双谱线【ＪＪ和三谱线『Ｉ５Ｊ插值算法。双谱线插值算法利用峰值谱线频点附近的两条谱线，引入频率偏移量求取谐波各参数，但该算法没有充分利用频点附近泄漏谱线的信息。三谱线插值算法利用频点附近的三条谱线，对泄漏信息的利用率有所提高，但该算法未考虑频点左右对称谱线包含的信息ｌＪ。本文分析了Ｎｕｔｔａｌｌ窗的频谱特性，选用旁瓣性李得民，等基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析一６５一能良好的四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗进行加窗插值ＦＦＴ分析。利用峰值谱线频点附近所含幅值信息量最大的两条谱线，加上外围的两条谱线，进行四谱线插值ＦＦＴ的谐波分析。运用多项式拟合推导出实用的四谱线插值修改公式，进一步减小了栅栏效应引起的误差。针对ＦＦＴ变换中需要计算每条谱线的幅值，即求每个幅值对应的复数的模，与双谱线或三谱线插值相比，四谱线插值算法的运算量大大增加。文献『１５１推导出在忽略谐波问泄漏影响时，主瓣内任意相邻谱线的相位差为兀（或一兀）。本文利用主瓣内相邻谱线的相位相差兀（或一７ｃ）的特性，通过减少四谱线插值修正公式中复数的求模运算，推导出与常规的四谱线插值修正公式几乎一致的改进修正公式。仿真结果表明，与文献［１６］中基于Ｂｌａｃｋｍａｎ窗的四谱线插值算法相比，本文推导出的基于四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ算法和改进算法均具有更高的分析精度。利用主瓣内相邻谱线的相位特性推导出的改进四谱线插值算法，拥有与常规算法几乎相同的分析精度，但计算量大大减少。１Ｎｕｔｔａｌｌ窗特性非同步采样时，为降低频谱泄漏对谐波测量的影响，选用旁瓣峰值电平低且旁瓣衰减速率大的窗函数对信号进行加窗处理。Ｎｕｔｔａｌｌ窗是一种余弦组合窗，具有良好的旁瓣特性。其时域表示为Ｍ一１∑’ＷＮ（ｎ）＝（一１）口ｃｏｓ（２ｎｎｍ／Ｎ）（１）ｍ＝０…Ⅳ其中：为窗函数项数；ｎ＝０，ｌ，，一１；ａ满∑∑足条件＝１，［＿】＝０。Ｎｕｔｔａｌｌ窗的频谱函数为∑ＷＡｗ）＝Ｍ－１（＿１）鲁［（ｗ一）＋（ｗ＋）］（２）ｍ＝０厶』Ｖ』Ｖ其中，（ｗ）一ｓｉｎ．（ｗ，Ｎ／２）．ｅ－￣为矩形窗频谱函数。ｓｍｔｗ／ｚＪ表１为Ｎｕｔｔａｌｌ窗及其他余弦窗的旁瓣特性，可—知Ｂｌａｃｋｍａｎ窗旁瓣峰值电平太高，ＢｌａｃｋｍａｎＨａｒｒｉｓ窗和四项最低旁瓣Ｎｕｔｔａｌｌ窗的旁瓣渐近衰减速率太小，它们的旁瓣特性均不理想。与四项１阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗相比，四项３阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗和５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗的旁瓣衰减速率更快，旁瓣特性更理想。四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗的旁瓣峰值电平为一６０．９５ｄＢ（负号表示旁瓣峰值电平低于主瓣电平），高于四项３阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗，但其旁瓣衰减速率更快，为４２ｄＢ／ｏｃｔ，由图１可知，四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗旁瓣特性更好，更有效地抑制了频谱泄漏。因此，本文选用四项５阶Ｎｕｔ－ｔａｌｌ窗对输入信号进行四谱线插值ＦＦＴ处理。煮２０一４０一６０－＼一１００＿ｌ：＿一１６Ｏ－归化频率／（ｎｒａｄ／ｓａｍｐｌｅ）图１两种Ｎｕｔｔａｌｌ窗的频谱对比图Ｆｉｇ．１ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆｔｈｅｔｗｏＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗｓ表１几种余弦窗的旁瓣特性Ｔａｂｌｅ１Ｓｉｄｅｌｏｂｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｓｅｖｅｒａｌｃｏｓｉｎｅｗｉｎｄｏｗｓ２基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗的四谱线插值算法２．１常规的四谱线插值算法以采样频率．对频率为．，幅值为Ｃ，初相位为０的单一频率信号（进行均匀采样，经模数变换后所得离散时间信号为ｘ（ｎ）＝Ｃｓｉｎ（２ｎｎｆｏ／ｉｓ＋）（３）对信号ｘ（ｎ））ＪｎＷＮ（ｎ）截断得Ｘｗ（ｎ）＝ｘ（ｎ）ｗＮ（ｎ），对Ｘｗ（ｎ）进行频率连续的傅里叶变换得∑（厂）＝ｘ（ｎ）ｗ（胛）ｅ＝［等・～，）（４）‰Ⅳ（厂一）】一ｅｒ［＝（－厂＋）】），式中：ＷＮ（／）是Ｎｕｔｔａｌｌ窗ＷＵ（ｎ）的频率连续的频谱函数。对式（４）进行离散采样，并忽略负频点处频峰的旁瓣影响Ｉｌ，得（）的离散频谱表达式Ｘ（ｋＡｆ）＝Ｃｅ［２￣（ｋＡ／一ｆｏ）／Ｚ］／（２ｊ）（５）Ⅳ式中，Ａｆ＝ｆＪＮ为频率分辨率，为采样点数。非同步采样时，ｋ＝ｆｏ／为非整数，即为频率分辨率的非整数倍，此时ＦＦＴ产生频谱泄漏，即采样值取不到峰值谱线频点，如图２。设峰值频点ｋ附近的最大和次最大谱线分别为第和＋】条一．６６．电力系统保护与控制（＝＋１），这两条谱线的幅值含量最大，其外围’的两条谱线记为第１和足２条（一１＜１＋２，２＝＋１＋ｌ，＝＋１）。这四条谱线的幅值记为Ｙｐｆ瞰１１、瞰Ｊ、１瞰１Ｙｍ２＝瞰２ｌｏ引入参数ａ＝ｋ－ｋｐ一０．５（一０．５ｄ０．５），（（Ｚ１２）一（．１））／（１＋Ｚ＋Ｚｌ２）。令＝２ＩＷｕ（２ｎ（一ａ＋０．５）／Ｊ７ｖ）ｌ＋ｌＷｕ（２ｎ（一ａ＋１．５）／Ｎ）Ｉ，Ｓ＝２ＩＷＮ（２￣（一ａ－Ｏ．５）／Ｎ）Ｉ＋ｌＷｕ（２ｎ（一一１．５）／Ｎ）ｌ，根据公式（５）并将带入，得＝—（Ｓ）／（Ｒ十）（６）ｆｏ￣ｆ，ｌ近的最大＼峰线幅值谱线＼应的第女条谱线一而附近的次最大一幅值谱线／最大和次最大幅值‘最大和次敏大幅值谱线外围的谱线Ｉ谱线围的谱线一’＼ｌ０７．ｆ．Ｉ．ｋｖ－，△￣，，，１△２，ｔＨｚ图２非同步采样频谱Ｆｉｇ．２Ｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆｎｏｎ－ｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｓａｍｐｌｉｎｇ记式（６）的反函数＿厂，实际计算时，通常先求出，由ａ＝ｆ（计算出。由于峰值频点附近的、＋两条谱线所含幅值信息量最大，计算时给这两条谱线更大的加权值，四条谱线的加权值分别为１、２、２、１。幅值的修正公式为ｃ：±±！（７）＋Ⅳ当＞＞１时，式（７）化简为Ｃ＝Ｎ一（Ｙｐ一１＋２ｙｐ＋２ｙＰ＋１＋Ｙｐ＋２）ｇ（）（８）频率修正公式为ｆ０＝ｋａｙ＝（十ｋ＋０．５）Ａｆ（９）由式（５）得初相位修正公式％＿ａｒｇ蝴】＋罢＿ａｒｇ［）］（１０）对Ｎｕｔｔａｌｌ窗进行ＤＦＴ变换，即将ｗ＝２ｎｋ／Ｎ带入式（２）得）＝＿１）％２ｎ一嗍＋＋例：ｅ－【一鲁．（１１）ｓｉｎ（２ｎｋ／Ｎ）ｓ兀（七一ｍ）ｌＮ）ｓｉｎ（十ｍ）ｌＮ）ｃｅ本文选用四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗的系数为ｏ＝０．３１２５，ａｌ＝０．４６８７５，ａ２＝０．１８７５，ａ３＝０．０３１２５，其ＤＦＴ变换为‘２ｎｋ）＝０．３ｌ２５（）一３４３７５１ｃ１））］＋Ｏ．０９３７５ＷＲ２ｎ（））＋（（））ｌ＿０．０ｌ５６２５Ｉ（（３））＋（２ｎ（¨３））］（１２）将一±１．５、一６ｃ±０．５带入式（１２），结合式（１１），求￣ｌＷＮ（２ｒｔ（一±ｔ．Ｓ）／Ｎ）ｌ和ｌ２７【（一ｏｃ±０．５）／Ｎ）１，得至０Ｒ和Ｓ，带入式（６），在［＿＿０．５，０．５】内取一组。ｃ，求得相应的值，调用ｐｏｌｙｆｉｔ（ｆｌ，）函数进行多项式拟和求出ａ＝ｆ。）。结合式（７）、式（８），根据求得相应的ｇ（），调用ｐｏｌｙｆｉｔ（ａ，ｇ（６ｃ），，ｚ）函数，求出多项式ｇＣａ）的系数。本文采用的四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值修正公式为＝２．３７５４０９８３６ｌｆｌ＋０．４３４７８５８３３６６ｆｌ＋０．１９１３４２２６９５４ｆｌ＋０．１１０２８８１６７２ｆｌ＋（１３）０．０７９１３０７３２３５ｆｌ。（＝１．３４４５６７５０６＋０．２４２０４７６１２９３＋０．０２３７８９０５４５ａ４＋０．００１７３９０３９２１２４一ｆ１１实际运算时，相位修正公式为＝ａｒｇ［Ｘ（ｋ￣ａｆ）］＋・一兀［一０．５（一１）］，ｉ＝ｌ，２，３，４（１５）２．２改进的四谱线插值算法文献［１５］推导出三谱线插值时，窗函数主瓣内三条相邻谱线间的相位差为７ｃ（或一兀），本文亦利用谱线的相位特性对四谱线插值算法进行改进。为方便起见，对于式（１１）令（２ｎｋ）∑：ｓｉｎ（）．［Ｍ－１（一１）ａ，，ｍ．一ｓ。ｉｎ（２ｎｋ／）（１６）Ⅳ）、则ＷＮ（２ｎｋｌＮ）＝ＦＮ（２ｎｋｌＮ）ｅ。根据式（５）、式（１６）有０９８７６５４３２ｌ０ＯＯ０ＯＯＯＯＯＯ李得民，等基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析．６７．（七Ａｆ）７ｊ—ｊｅｊ￣￣［２兀（ｋｐＡｆＬ）／Ｌ］＝［］＝（１７）Ｃ２ｉｅＪ（￣ｏ－ｎ（ｋｒ－ｋ））Ｆ～２Ⅳｎ、ｋ，一尼）］２ｉ…Ⅳ、～第条谱线的相位为ａｒｇ［Ｘ（ｋ６ｆ）］＝一７ｃ（一ｋ）一７ｔ／２（１８）同理得第．条谱线的相位为ａｒｇ瞰．］＝￣Ｏｏ－ｌｔ（ｋｐ＿ｒｋ）一兀／２，两相位差为ａｒｇ［Ｘ（ｋｐＡｆ）］一ａｒｇ［（．）］＝兀（．。一）＝一兀或—ａ玛［（６ｆ）］一ａｒｇ［（６ｆ）］＝７ｃ（一一）＝７ｃ（１９）由式（１９）可知，第和．１条谱线相位相差兀（或一兀），同理可得和一条，和条谱线的相位均相差７ｃ（或一７ｃ），即任意相邻谱线对应的向量的方向相反（相差兀和一兀在效果上一样），四条谱线用向量表示图如图３，假设坂ｅｌ。根据ｅ士ｊ＝一１，ｅ士ｊ２兀＝１，有Ｉ一一２Ｘ（ｋｐＡｆ）＋２Ｘ（ｋｐ＋６ｆ）一＋ｌ＝‘‘１一１ｅ．ｉ一２ｙｐｅ＋２ｙｐ＋１ｅｊ一＋２ｅｌ＝一１＋２ｙｐ＋２ｙｐ＋１＋＋２（２０）：２２Ｘ（＋ｋ———ｐ＋，Ａｆ）－Ｘ＋（：ｋ‘ｐ＋ｚＺ￣：＝２＝ｙｐ＋＋：ｃ２・‘’‘ｌｐ＋１一ｐ＋２ｅ１１＋１＋＋２、—Ｉ２Ｘ（ｋｐＺｙ）一（．１）Ｉ２ｙｅ一Ｙｐ．１ｅ儿ｌ＝２ｙｐ＋Ｙｐｌ（２２）ｆｌ／１／州Ｘ（ｋ川Ａｆ）ＩＩ图３主瓣内相邻四条谱线相位特性图Ｆｉｇ．３Ｐｈａｓｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｆｏｕｒａｄｊａｃｅｎｔｓｐｅｃｔｒｕｍｌｉｎｅｓｉｎｍａｊｏｒｌｏｂｅ弓Ｉ入的参数Ｒ＝２ｌＷｕ（２ｎ（ｋｐ＋１一ｋ）／Ｎ）Ｉ￣ｌｍｕ（２￣（ｋｐ＋２一ｋ）／Ｎ）ｌ＝（２／Ｃ）×△（２ｌｘ（ｇ＋１１＋瞰＋２￣ＤＩ），有两次求模运算，同理Ｓ也有两次求模运算，若按式（６）求参数需要计算八次模值。同理按式（７）求修正公式，也需要计算八次模值，使四谱线插值ＦＦＴ算法运算量大大增加。根据式（２０）、式（２１）和式（２２），将式（６）改为Ｄ（２ｙｐ＋ｌ＋Ｙｐ＋２）一（２ｙｐ＋Ｙｐ１）１３一Ｙ一１＋２＋２ｐ＋１＋ＹＰ＋２ｌ２Ｘ（ｋ）一Ｘ（ｋ））ｌ＿ｌ２Ｘ（ｋｐＡｆ）一（ｋｐ．））ｌ△｝（一Ｉ４厂）一２Ｘ（ｋ６ｆ）＋２Ｘ（ｋ＋．６ｆ）一Ｘ（ｋｐ＋：厂）ｌ（２３）同理式（７）改为，１２（ｙ１＋２ｐ＋２ｐ＋１＋ＹＰ＋２）Ｌ＝一＝＋Ｒ’△２ｌＸ（ｋ一，）一２Ｘ（ｋｐ６ｆ）＋２Ｙ（ｋｐ＋．６ｆ）一Ｘ（ｋｐ＋厂）ｌ＋（２４）改进式（２３）只需求３次模值，为式（６）求模运算的３／８，幅值修正公式（２４）只需求５次，为式（７）的５／８。利用改进算法求出的四谱线插值修正公式为＝２．３７５４０９８３６１ｆｌ＋０．４３４７８５８３３６６ｆｌ＋０．１９１３４２２６９７５ｆｌ＋０．１１０２８８１５９８ｆｌ＋ｆ２５１０．０７９１３０８１７３１８ｆｌｇｆ＝１．３４４５６７５０６＋０．２４２０４７６１２９３＋…，（２６）００２３７８９０５４５ｏ｝０．００１７３９０３９２１２茁需要指出的是，改进四谱线算法和常规算法在幅值之和的计算方式上有所不同，比较式（１３）、式（１４）和式（２５）、式（２６）可知，两种方法得出的修正公式几乎一致，但改进算法的运算量大大减少。以上是对单一信号分量进行的插值ＦＦＴ分析，是在忽略相邻频率信号的相互影响下进行的。实际的电网中可能突然出现间谐波或次谐波，进行ＦＦＴ分析时，非整数次谐波产生的长范围频谱泄漏会叠加到相邻的整数次谐波的离散序列中，影响到整数次谐波的检测。对电力信号而言，非整数次谐波的幅值非常小，其相邻的整数次谐波也会影响到ＦＦＴ“”算法对非整数次谐波的检测，甚至会淹没问谐波或次谐波。本文选用的四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗具有旁瓣渐近衰减速率快，旁瓣峰值较低等特性，能有效抑制相邻频率信号之间频谱泄漏的影响，采用本文算法进行谐波分析的具体步骤为：（１）对时域信号进行均匀采样，得离散无限长序列。（２）对离散序列加窗截断后进行ＦＦＴ分析，获得各离散频点处的值。（３）在各离散峰值谱线附近寻找最大和次最大幅值谱线，以及外围的两条谱线，获得四条谱线的幅值。（４）根据四条谱线的幅值信息，分别用常规的四．６８．电力系统保护与控制谱线插值算法和改进的四谱线插值算法计算包含非整数次谐波在内的各频率信号的参数。３仿真验证及结果分析３．１四条谱线相位差仿真改进算法的前提是主瓣内四条谱线间的相位差为兀（或一兀），因此首先对此结论进行仿真验证。设信号ｘ（ｔ）＝２２０ｓｉｎ（２咿），在［０，２７ｔ１之间变化，变化步长为ｘ／２０，厂在４９．５Ｈｚ到５０．５Ｈｚ之间变化，变化步长为０．１Ｈｚ。以采样频率ｆｓ＝３０００Ｈｚ，采样点数Ｎ＝５１２，对序列加四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗并进行ＦＦＴ△变换，计算第％．１和条谱线间的相位差，记为１，△和间相位差记为：，尼１和升：间相位差记为Ａｃｐ３，相位差如图４所示。。△１ｏＡ△∞６日口ｂｂ南１辐谴．（。『ｔ砒图４户５０．１Ｈｚ时主瓣内相邻四条谱线间的相位差Ｆｉｇ．４Ｐｈａｓｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｏｆｆｏｕｒａｄｊａｃｅｎｔｓｐｅｃｔｒｕｍｌｉｎｅｓｉｎｍａｊｏｒｌｏｂｅａｔｌ产５０．１Ｈｚ由图４知，．户５０．１Ｈｚ，在［０，２尢１之间变化时，主瓣内相邻四条谱线的相位差始终为７ｃ（或一７【）。厂取其他频率时隋况相同，限于篇幅此处不再一一说明。３．２常规算法与改进算法仿真分析为了验证本文推导的常规四谱线插值算法与改进四谱线插值算法的有效性，采用文献［１６］给出的电网电量信号，并与该文献中的基于Ｂｌａｃｋｍａｎ窗的四谱线插值ＦＦＴ算法进行比较。采样频率５１２０Ｈｚ，采样点数Ｎ＝１０２４。信号中各次谐波的幅值、频率和相位如表２。分析结果如表３、表４所示。表５、表６分别为幅值和相位的测量误差，图表中的ａＥ．ｂ表示口×１０一。由表５、表６知，本文推导的基于四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值算法的计算结果比Ｂｌａｃｋｍａｎ窗算法具有更高的精度。比较四谱线插值ＦＦＴ变换的常规算法与改进算法可知，两者具有几乎一致的计算结果，其分析精度非常接近，但改进算法根据式（２３）求参数，进而求６ｃ并进行幅值修正，求模运算大大减少。以ＭａｔｌａｂＲ２０１３ａ进行仿真计算所需时间为例，改进算法检测本文信号所需时间为０．０１２Ｓ，比常规算法少０．００７Ｓ。因此，改进算法在保证计算精度的情况下，有效提高了算法的响应速度。表２基波和各次谐波的频率、幅值和相位Ｔａｂｌｅ２Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｍｐｌｉｔｕｄｅａｎｄｐｈａｓｅｏｆｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｗａｖｅａｎｄｅｖｅｒｙｈａｒｍｏｎｉｃｓｉｇｎａｌ表３不同加窗插值算法的幅值结果Ｔａｂｌｅ３Ａｍｐｌｉｔｕｄｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ表４不同加窗插值算法的相位结果Ｔａｂｌｅ４Ｐｈａｓｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ李得民，等基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析．６９．表５不同加窗插值算法的幅值误差Ｔａｂｌｅ５Ａｍｐｌｉｔｕｄｅｅｒｒｏｒｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ表６不同加窗插值算法的相位误差Ｔａｂｌｅ６Ｐｈａｓｅｅｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ３．３含非整数次谐波的ＦＦＴ分析当电网中出现非整数次谐波时，ＦＦＴ算法能利用各峰值谱线频点周围谱线进行插值分析。分别用基于Ｂｌａｃｋｍａｎ窗的四谱线插值ＦＦＴ算法，与本文算法对表７信号进行分析，采样频率＝５１２０Ｈｚ，采样点数Ｎ＝１０２４。表８、表９分别为幅值、相位的测量误差。表７信号的频率、幅值和相位Ｔａｂｌｅ７Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｍｐｌｉｔｕｄｅａｎｄｐｈａｓｅｏｆｔｈｅｓａｍｐｌｉｎｇｓｉｇｎａｌ表８含间谐波时不同算法的幅值误差Ｔａｂｌｅ８Ａｍｐｌｉｔｕｄｅｅｒｒｏｒｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｗｉｔｈｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ间谐波相对于基波和谐波而言幅值较小。表７中，基波与３次、３次和５次谐波之问出现间谐波时，各整数次谐波与问谐波之存在频谱泄漏，从而对测量精度产生影响。对比表５、表６和表８、表９可知，间谐波存在时，基波、３、５次谐波的幅值和相位的测量误差大大增加，说明间谐波的频谱泄漏影响了ＦＦＴ算法对相邻整数次谐波的分析，同时ＦＦＴ算法对问谐波的分析精度与表５、表６中相比也大大降低，如８０．１６Ｈｚ的频率信号的幅值的绝对误差大于１０～，而表５中所有整数次频率信号的幅值的绝对误差在１０～～１０一，这是因为幅值较大的整数次谐波的频谱泄漏也会影响到问谐波的检测。以上分析说明，信号中出现频率临近的非整数次谐波时，ＦＦＴ算法对相邻的整数次和非整数次谐波的精度均大大降低。但是，本文算法对所有频率信号的分析精度依然高于文献［１６１中的基于Ｂｌａｃｋｍａｎ窗的四谱线插值ＦＦＴ算法，验证了本文算法的有效性。表９含间谐波时不同算法的相位误差Ｔａｂｌｅ９Ｐｈａｓｅｅｒｒｏｒｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｉｎｄｏｗｉｎｔｅｒｐｏｌｍｉｏｎ—ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｗｉｔｈｉｎｔｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｓ３．４电网频率波动对算法的影响根据本文算法中将时域信号离散化，探寻离散峰值谱线附近的四条谱线并进行插值校正的特性，即使电网频率，尤其是基波频率出现波动时，本文算法将重新对波动后的信号离散化，并利用新的频谱峰值频点附近的四条谱线进行修正，获得信号各．７０一电力系统保护与控制参数，实现对动态信号的分析。设基波频率在４９．５～５０．５Ｈｚ波动时，采用基于四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗的改进四谱线插值算法对文献［１６］的电网电量信号进行分析，基波频率的绝对误差均小于１×１０一Ｈｚ，各次谐波信号的幅值与相位的相对误差如图５、图６所示。８６４２Ｏ一２４５Ｏ５图５频率波动时幅值相对误差图Ｆｉｇ．５Ａｍｐｌｉｔｕｄｅｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｕｎｄｅｒｆｒｅｑｕｅｎｃｙｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ８６４２０—２４５０．５图６频率波动时相位相对误差图Ｆｉｇ．６Ｐｈａｓｅｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｕｎｄｅｒｆｒｅｑｕｅｎｃｙｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ由图６、图７知，基波频率波动时，采用改进四谱线插值算法对信号进行谐波分析，幅值的相对误差不超过８×１０％，相位的相对误差不超过６ｘ１０％。可见本文算法能有效抑制基波频率波动对谐波分析的影响，高精度地检测出谐波的各参数。４结论本文选用旁瓣性能良好的四项５阶Ｎｕｔｔａｌｌ窗进行电力谐波的四谱线插值ＦＦＴ分析，利用多项式拟合推导出实用的插值修正公式，并根据主瓣内相邻谱线的相位差为兀ｆ或一７【）的特性，推导出改进的四谱线插值算法。仿真结果验证了改进算法与常规算法具有几乎相同的计算精度，与文献［１４】给出的基于Ｂｌａｃｋｍａｎ窗的四谱线插值算法相比，抑制频谱泄漏的效果更好，精度更高，但改进四谱线插值算法的运算量大大减少。同时，本文算法能有效克服基波频率波动对谐波分析的影响，分析动态信号时仍具有较高的计算精度。参考文献［１］彭祥，周群，曹晓燕．一种高精度的电网谐波／问谐波检测的组合优化算法【ＪＪ．电力系统保护与控制，—２０１４．４２（２３）：９５１０１．ＰＥＮＧＸｉａｎｇｈｕａ，ＺＨＯＵＱｕｎ，ＣＡＯＸｉａｏｙａｎ．Ａｈｉｇｈｐｒｅｃｉｓｉｏｎｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎａｌｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｆｐｏｗｅｒ—ｇｒｉｄｈａｒｍｏｎｉｃ／ｉｎｔｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｓｉｇｎａｌｄｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１４，４２（２３）：９５－１０１．［２］姚致清，刘涛，张爱玲，等．直流融冰技术的研究及应用［ＪＪ．电力系统保护与控制，２０１０，３８（２１）：５７．６２．ＹＡＯＺｈｉｑｉｎｇ，ＬＩＵＴａｎ，ＺＨＡＮＧＡｉｌｉｎｇ，ｅｔａ１．Ｒｅｓｅａｒｃｈ＆ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｎＤＣｄｅ・ｉｃｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ［Ｊ］．Ｐｏｗｅｒ—ＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１０，３８（２１）：５７６２．［３］李国庆，王鹤，张慧杰．微电网中基于逆变电源控制的重要节点电能质量管理方法【ＪＪ．电工技术学报，—２０１４，２９（２）：１７７１８３．ＬＩＧｕｏｑｉｎｇ，ＷＡＮＧＨｅ，ＺＨＡＮＧＨｕｉｊｉｅ．Ｐｏｗｅｒｑｕａｌｉｔｙｍａｎａｇｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｉｎｖｅｒｔｅｒｓｏｕｒｃｅｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｉｍｐｏｒｔａｎｔｎｏｄｅｉｎｍｉｃｒｏｇｒｉｄ［Ｊ］．ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆＣｈｉｎａ—ＥｌｅｃｔｒｏｔｅｃｈｎｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１４，２９（２）：１７７１８３．［４］孙鹏，杨永越．五点加权ＦＦＴ介质损耗角测量算法的—研究［Ｊ］．高压电器，２０１５，５１（３）：８８９２．ＳＵＮＰｅｎｇ，ＹＡＮＧＹｏｎｇｙｕｅ．Ｆｉｖｅ－ｐｏｉｎｔｗｅｉｇｈｔｅｄＦＦＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｏｆｄｉｅｌｅｃｔｒｉｃｌｏｓｓａｎｇｌｅ［Ｊ］．—ＨｉｇｈＶｏｌｔａｇｅＡｐｐａｒａｔｕｓ，２０１５，５１（３）：８８９２．［５］姚致清，于飞，赵倩，等．基于模块化多电平换流器的大型光伏并网系统仿真研究ｆＪ］．中国电机工程学报，—２０１３．３３（３６）：２７３３．ＹＡＯＺｈｉｑｉｎｇ，ＹＵＦｅｉ，ＺＨＡＯＱｉａｎ，ｅｔａ１．ＳｉｍｕｌｍｉｏｎｒｅｓｅａｒｃｈＯＲｌａｒｇｅ・・ｓｃａｌｅＰＶｇｒｉｄ－－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄｓｙｓｔｅｍｓｂａｓｅｄｏｎＭＭＣ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２０１３，３３（３６）：２７．３３．［６］姚致清，赵倩，刘喜梅．基于准同步原理的逆变器并网技术研究【ＪＪ．电力系统保护与控制，２０１１，３９（２４）：１２３．１３１．ＹＡＯＺｈｉｑｉｎｇ，ＺＨＡＯＱｉａｎ，ＬＩＵＸｉｍｅｉ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｏｎ—ｇｒｉｄｃｏｎｎｅｃｔｅｄｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆｉｎｖｅｒｔｅｒｂａｓｅｄｏｎｑｕａｓｉｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄ—Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０１ｌ，３９（２４）：１２３１３１．［７］温和，腾召胜，王永，等．改进加窗插值ＦＦＴ动态谐波分析算法及应用［ＪＪ．电＿［技术学报，２０１２，２７（１２）：—２７０２７３．李得民，等基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗四谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析．７１．ＷＥＮＨｅ，ＴＥＮＧＺｈａｏｓｈｅｎｇ，ＷＡＮＧＹｏｎｇ，ｅｔａ１．ＩｍｐｒｏｖｅｄｗｉｎｄｏｗｅｄｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴａｌｇｏｒｉｔｈｍａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｆｏｒｐｏｗｅｒｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆＣｈｉｎａＥｌｅｃｔｒｏｔｅｃｈｎｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１２，２７（１２）：２７０－２７３．［８］许珉，杨阳，陈飞，等．基于Ｎｕｔｔａｌｌ（１）窗的插值ＦＦＴ—算法［Ｊ］．电力系统保护与控制，２０１１，３９（２３）：４４４７．ＸＵＭｉｎ，ＹＡＮＧＹａｎｇ，ＣＨＥＮＦｅｉ，ｅｔａ１．ＡｎｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄＦＦＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＮｕｔｔａｌｌ（Ｉ）ｗｉｎｄｏｗ［Ｊ］．Ｐｏｗｅｒ—ＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｔｒｏ１．２０１１．３９（２３）：４４４７．［９］曾博，唐求，卿柏元，等，基于Ｎｕｔｔａｌｌ自卷积窗的改进ＦＦＴ谱分析方法［Ｊ］．电工技术学报，２０１４，２９（７）：５９－６５．ＺＥＮＧＢｏ，ＴＡＮＧＱｉｕ，ＱｒＮＧＢａｉｙｕａｎ，ｅｔａ１．ＳｐｅｃｔｒａｌａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｉｍｐｒｏｖｅｄＦＦＴｂｙＮｕｔｔａｌｌｓｅｌｆ－ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｗｉｎｄｏｗ［Ｊ］．ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆＣｈｉｎａ—ＥｌｅｃｔｒｏｔｅｃｈｎｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１４，２９（７）：５９６５．［１Ｏ］周俊，王小海，祁才君．基于Ｂｌａｃｋｍａｎ窗函数的插值ＦＦＴ在电网谐波信号分析中的应用［Ｊ］．浙江大学学报—（理学版），２００６，３３（６）：６５０６５３．ＺＨＯＵＪｕｎ，ＷＡＮＧＸｉａｏｈａｉ，ＱＩＣａｊｕｎ．ＥｓｔｉｍｍｉｏｎｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｈａｒｍｏｎｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄＦＦＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎＢｌａｃｋｍａｎｗｉｎｄｏｗ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ），２００６，３３（６）：６５０－６５３．［１１］赵文春，马伟明，胡安．电机测试中谐波分析的高精度ＦＦＴ算法［ＪＪ．中国电机工程学报，２００１，２１（１２）：８３。８７．ＺＨＡＯＷｅｎｃｈｕｎ，ＭＡＷｅｉｍｉｎｇ，ＨＵＡｎ．ＦＦＴａｌｇｏｒｉｔｈｍｗｉｔｈｈｉｇｈａｃｃｕｒａｃｙｆｏｒｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｉｎｔｈｅｅｌｅｃｔｒｉｃｍａｃｈｉｎｅ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２００１，２１（１２）：８３．８７．［１２］曹敏，熊浩，刘然，等．基于Ｒｉｆｅ．Ｖｉｎｃｅｎｔ窗的录波电流谐波分析方法［Ｊ］．电网与清洁能源，２０１３，２９（３）：７．１１．ＣＡＯＭｉｎ，ＸＩＯＮＧＨａｏ，ＬＩＵＲａｎ，ｅｔａ１．ＨａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｒｅｃｏｒｄｅｄｃｕｒｒｅｎｔｗａｖｅｂａｓｅｄｏｎＲｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔｗｉｎｄｏｗ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍａｎｄＣｌｅａｎＥｎｅｒｇｙ，２０１３，２９（３）７．１１．［１３］陈国志，陈隆道，蔡忠法．基于Ｎｕｔｔａｌｌ窗插值ＦＦＴ的—谐波分析方法［Ｊ］．电力自动化设备，２０１１，３１（４）：２７３１．ＣＨＥＮＧｕｏｚｈｉ，ＣＨＥＮＬｏｎｇｄａｏ，ＣＡＩＺｈｏｎｇｆａ．Ｈａｒｍｏｎｉｃｄｅｔｅｃｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｉｍｐｒｏｖｅｄａｄａｐｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄａｎｄｉｔｓｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓｔｕｄｙ［Ｊｌ＿ＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＡｕｔｏｍａｔｉｏｎＥｑｕｉｐｍｅｎｔ，２０１１，３１（４）：２７－３１．［１４］卿柏元，滕召胜，高云鹏，等．基于Ｎｕｔ＂ｔａｌｌ窗双谱线插值ＦＦＴ的电力谐波分析方法［Ｊ］．中国电机工程学报，—２００８．２８（２５）：１５３１５７．ＱＩＮＧＢａｉｙｕａｎ，ＴＥＮＧＺｈａｏｓｈｅｎｇ，ＧＡＯＹｕｎｐｅｎｇ，ｅｔａ１．ＡｎａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＮｕｔｔａｌｌｗｉｎｄｏｗｄｏｕｂｌｅ－・ｓｐｅｃｔｒｕｍ－・ｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ—ＦＦＴ［Ｊ］．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２００８，２８（２５）：１５３１５７．［１５］蔡晓峰，张鸿博，鲁改凤．应用三谱线插值ＦＦＴ分析电力谐波的改进算法［Ｊ］．电力系统保护与控制，２０１５，４３（２）：３３－３８．ＣＡＯＸｉａｏｆｅｎｇ，ＺＨＡＮＧＨｏｎｇｂｏ，ＬＵＧａｉｆｅｎｇ．Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｕｓｉｎｇｔｒｉｐｌｅ－－ｓｐｅｃｔｒｕｍ－－ｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｗｉｎｄｏｗＦＦＴ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄ—Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０１５，４３（２）：３３３８．［１６］郝柱，顾伟，褚建新，等．基于四谱线插值ＦＦＴ的电网谐波检测方法［Ｊ］．电力系统保护与控制，２０１４，４２（１９）：—１０７１１２．ＨＡＯＺｈｕ，ＧＵＷｅｉ，ＣＨＵＪｉａｎｘｉｎ，ｅｔａ１．Ａｐｏｗｅｒｎｅｔｗｏｒｋｈａｒ—ｍｏｎｉｃｄｅｔｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｏｕｒ－ｓｐｅｃｔｒｕｍｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴ［Ｊ］．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＰｒｏｔｅｃｔｉｏｎａｎｄ—Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０１４，４２（１９）：１０７１１２．［１７］高云鹏，腾召胜，卿柏元．基于Ｋａｉｓｅｒ窗双谱线插值ＦＦＴ的谐波分析方法【ＪＪ．仪器仪表学报，２０１０，３１（２）：２８７．２９１．ＧＡＯＹｕｎｐｅｎｇ，ＴＥＮＧＺｈａｏｓｈｅｎｇ，ＱＩＮＧＢａｉｙｕａｎ．ＨａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎＫａｉｓｅｒｗｉｎｄｏｗｄｏｕｂｌｅｓｐｅｃｔｒｕｍｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎＦＦＴ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔ，２０１０，３１（２）：２８７－２９１．—收稿日期：２０１５－０４１５；—修回日期：２０１５－０８１６作者简介：李得民（１９９０一），男，硕士研究生，研究方向为电力系—统谐波检测；Ｅｍａｉｌ：１２５０４６６２１５＠ｑｑ．ｃｏｍ何怡刚（１９６６一），男，教授，博士生导师，研究方向为复杂电网状态监测与健康管理，自动测试与诊断装备，智能电网等。（编辑葛艳娜）