单壁碳纳米管在非局部粘弹性基体中的振动特性研究.pdf

　４８　单壁碳纳米管在非局部粘弹性基体中的振动特性研究　２０１６年６月　　　　单壁碳纳米管在非局部粘弹性基体中的振动特性研究　　李庆丽，赵静（张家口学院，张家口　０７５０００）　摘要：基于非局部弹性理论，针对非局部粘弹性基体中单壁碳纳米管的振动特性问题进行了研究。通过引入欧拉粱模型　　　　　　　　　　　　　　　和非局部粘弹性地基模型，建立了系统的振动控制方程，并利用传递函数法得到了任意边界条件下非局部粘弹性基体中单壁　　碳纳米管固有频率的封闭解。以某根置于非局部粘弹性基体中的单壁碳纳米管为例，计算了不同边界条件和非局部参数下碳　纳米管的前三阶固有频率，并在此基础上研究了非局部粘弹性基体主要材料参数对碳纳米管固有频率的影响特性。结果表　明，所建分析模型和求解方法在分析粘弹性基体中碳纳米管的振动特性问题中准确有效。　　　　　　　关键词：碳纳米管；非局部理论；振动特性；非局部粘弹性介质　　　　——　中图分类号：ＴＢ３３２文献标识码：Ａ文章编号：１００３－０９９９（２０１６）０６００４８０６　　　　　１引言自１９９１年被发现以来，碳纳米管¨　　以其优异的　　　力学、电磁学及化学等特性＇，在纳米复合材料、　　　　　　　　　　　　　纳米传感器及微机电系统等领域得到了广泛应　　　　　用Ｊ。对碳纳米的材料性能进行研究具有重要意　　　　义，作为其材料性能的重要方面之一，碳纳米管的动　力学特性问题近年来引起了学者的广泛关注并开展　　　　了大量研究工作。引。在实际工程中，碳纳米管常　置于基体中，对基体中碳纳米管的振动特性问题开　　展研究具有一定的理论价值和工程意义。　由于非局部理论¨　　　　　可以计及原子问的长程　　力作用，近年来被广泛应用于碳纳米管／石墨烯等纳　　　　米结构的力学分析。非局部理论认为，一点的应力　　　　不仅与该点的应变状态有关，也与整个域内其他点　　　的应变状态都有关。基于非局部Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁理论　　　　和Ｇａｌｅｒｋｉｎ法，Ｗａｎｇ等纠分析了Ｐａｓｔｅｒｎａｋ弹性地基　　　　—　　　上输流单壁碳纳米管（ＳｉｎｇｌｅＷａｌｌｅｄＣａｒｂｏｎＮａｎｏ　“”　　　ｔｕｂｅ，简称ＳＷＣＮＴ）在磁场和热力场中的自由振　　　动问题，并分析了非局部参数、磁场及热力场等对碳　　　　纳米管固有频率的影响情况。Ｋｉａｎｉｌａ６３利用非局部　　　　欧拉梁、Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁及其他高阶梁模型对弹性介　　质中单壁碳纳米管的自由横振动问题开展了相关研　　　　究，并进一步分析了非局部参数、长细比、介质刚度　　　等对固有频率的影响特性。基于非局部Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ　Ⅲ　　　　梁模型，ｗｕ等针对弹性基体上单壁碳纳米管的　　自由振动问题进行了研究，其中弹性基体利用Ｗｉ．　　　　　ｎｋｌｅｒ和Ｐａｓｔｅｍａｋ弹性地基模型模拟。从文献调研　　　　中可以看出，近年来学者主要针对弹性基体中碳纳　米管的振动特性进行了研究。由于实际工程中的许　多基体（如复合材料中的聚合物基体、生物传感器中　　　　　　　　　　　　　　　　的生物组织等）均为典型的粘弹性材料，采用　　Ｗｉｎｋｌｅｒ和Ｐａｓｔｅｒｎａｋ等弹性地基模型无法模拟其粘　弹性特性。就目前而言，针对粘弹性基体中碳纳米　管振动特性问题的研究还较少，且相关研究中均未　　　　考虑介质或基体的尺度效应。然而，实际上在纳米　　　　尺度下不仅碳纳米管具有明显的尺度效应，介质或基体也存在一定的尺度效应¨　引。为此，本文基于非　　　局部粘弹性地基模型，针对碳纳米管在非局部粘弹　　性介质中的振动特性问题开展了相关研究。　本文基于非局部欧拉梁模型理论，首先建立了　　　非局部粘弹性介质中碳纳米管振动控制方程，然后　利用传递函数法求解得到了碳纳米管的固有频率封　闭解。通过算例计算验证了所建模型和求解方法的　　　　　正确性，并在此基础上分析了非局部粘弹性介质各　　　主要材料参数对固有频率的影响特性。　　　　２ＳＷＣＮＴ振动控制方程　取置于非局部粘弹性基体中的某单壁碳纳米管　　　为研究对象（见图１），其中碳纳米管等效为欧拉梁　　　　模型，原点０位于碳纳米管左端，轴沿碳纳米管轴　线指向右端，Ｙ轴沿碳纳米管横向振动方向。根据　非局部弹性理论，可建立振动控制方程为：　　——　收稿日期：２０１６０３１６　　　　　　　　作者简介：李庆丽（１９７７－），女，硕士，讲师，主要从事物理学问题的研究，ｌｉｑｉｎｇｉｉ２０１０＠１６３．ｆ；ｏｒｔａ。　　　ＦＲＰ／ＣＭ２０１６．ＮＯ．６　　２０１６年第６期　　　　　　　玻璃钢／复合材料　４９ＯＸ４　　　　　　ｄｘ＋［１＿（）。Ｖ。】　Ｏｔ　（１）　【ｌ】　Ⅳ　＋［１一（ｅ００）。Ｖ】Ｑ＝０　　　式中，为碳纳米管的杨氏模量；，为惯性矩；为横　　向位移；ｐ为质量密度；为横截面积；ｅ０为内部特征　长度；ａ为相应的材料常数；Ｖ为哈密顿算子；ｔ为时　　间；Ｑ为非局部粘弹性介质对碳纳米管的作用力，　　　可表示为：Ⅳ　　　　　ｑ（，ｔ）＝ｆＫ（ｘ，）（，ｔ）ｄ　（２）　ｔ　＋…　　　　　　　　其中，和分别为介质两端的坐标值；Ｋ（，）和Ｃ　　　　　　　　（，，ｔ一丁）分别为介质的弹性空间核函数和阻尼核　　　函数，且有：　　　　　　Ｋ（ｘ，）＝昙ｅｆ　（３）　　　　　　　ｃ（，，￡一丁）＝Ｃ。ｅ一Ｊ／．　　　　　％ｅ。（）　（４）　　　　　　　式中，和Ｃ。分别为介质的刚度系数和阻尼系数，ＯＬ　　　和。为核函数的特征参数。　　ｆｙ　　　图１非局部粘弹性基体中的单壁碳纳米管示意图　　　—　　　Ｆｉｇ．１Ａｓｉｎｇｌｅｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅ（ＳＷＣＮＴ）ｅｍｂｅｄｄｅｄ　　　　　ｉｎａｎｏｎｌｏｃａｌｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｍｅｄｉｕｍ　　　振动控制方程的解可表达为Ｗ＝Ｗ（ｘ）ｅ，其中　　　　０９和Ｗ（）分别表示碳纳米管的固有频率及对应的　振型，则振动控制方程（１）可转化为：‘　　　　　’　ＥＩＷ＋ｐａｗ（ｅｏｎ）Ｗ。　　　＋－ｐＡａｔ２（ｅ０ｌａ　ｔｌＺｏ）】＋　号　　　ｃ。）．　　　　　［ｅ州）＋ｅ　　）］：０　　　　　　　　　　　　　　式中，及分别表不对的四次和二次倔导。　对振动控制方程式（５）作一次和二次偏导，分　　别可得：’　　　　＋ｐＡａｔ（ｅ００）。。＋　∞　　　　　　【一（ｅｏａ）ｔｏ＋ｃ０￣ａｔｌ＇ｔ￣）］　Ｉ＋　　　　　　　　’　导仅ｃｅｏＫｏ＋Ｃｏ）．　　　　　　　‘　　　　［一』ｅ９）』ｅ碍）】＝０’　　＋ｐＡａｔ（ｅｏｎ）。＋　【一　　　　　ｅｏａｃ。）＋　　　　　　詈（ｅ０Ｋｏ＋Ｃｏｉａｔ＋ＩＸｏ）．　ｅ‘　舛　　　）＋‘　舛　　　　　）一如＝０　０　　　　　　　　　　　　　联立式（６）与式（７），－Ｊ捎去振动控制方程式　（５）中的积分项，得：ｃ　　　　　　２【６）＋（２２。一：ｏＣｂ【４）　　　　　　　　＋丁￣（ｋ＋ｉａｔ。一０９２）㈣　。　其中，ｃ＝￣－　　／ｐＡＬ４一，＝ｃ。／；Ａ，ｋ＝Ｋｏ／ｐＡ，下。：ｅ０ａ／Ｌ，　　　　　　￣＝ｘ／Ｌ，＝Ｌ，ｌｏ＝以。　　　　　　分别将＝０和＝代入式（５）和式（７），并联　　　立两式，可得：　ｃ　（０）一ｆ。ｃ　　　‘　　　　’　（０）丁２ｏ－－。（Ｏ）－１０２－－（０）　＋。ｉｏ　　　ｎ；ｏ）㈣　　　　　　＋ｚ丁２０（ｉｏｎ．ｏ）］ｃ＝。　（９）　调　赫　５０　　　　　　　　兰壁鲞篁垒！童壁墨堡主的振特性研究　２０１６年６月　　　　　　　　　　ｃ（１）＋／ｏｃ２（１）坳ｏ２－－（１）＋１０￣０２Ｔ（（１）＋　　　　　　　［丁２ｏ（ｋ＋ｉｗ）㈨　　　　　　　　［ｏ２（。）】＝。　　　下面给出了碳纳米管的三种典型边界条件：　　固支端：　　（，￡）＝　　　　　　：０（：０或１）（１１）　　简支端：　　　　　　　　　　（，ｔ）：（，ｔ）＝０（＝０或１）　（１２）　　自由端：　　　　　　　　　Ｑ（，）：（，￡）：０（＝０或１）　（１３）　　其中，Ｍ和Ｑ分别为碳纳米管所受的弯矩和剪切力　　３传递函数法求解　　　　对于振动控制方程式（８）可以采用传递函数法　　　“”　　（ＴｒａｎｓｆｅｒＦｕｎｃｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄ，简称ＴＦＭ）进行求解。　　　首先定义状态向量ｎ（ｘ－，）为：　　　　　　　　叼ｃ，【］ｃ４　　　　　　”　　‘　　　‘　’　　　　　　式中，Ｕ（，）：［，，，］Ｔ（，）＝‘　　’　　［Ｗ，Ｗ］。　则振动控制方程（８）可写为状态方程形式：　　　：Ｆ（）叼（，）　（１５）　　其中：　　Ｆ（）＝　０　０　１　０　０　０　０　０　０　０　０　０　０２　　　　　　二２２二２　Ｃ　Ｃ　　　　且定义Ｆ＝＋ｉ　。　　　十０　状态方程（１５）的解可表示为：　　船／　臣　∞‘　　　，７（，）＝ｅＦｖ（ｏ，（ｔＪ）　（１７）　　　　　当＝１时，式（１７）可化为：　‘　　叩（１，）＝ｅＦ甜）叼（０，）　（１８）　　　　另外，根据式（９）和式（１０）可得：　　∞　　　ｂ一（Ｏ３）叩（Ｏ，０９）＝０，ｂ２（），７（１，）＝０（１９）　式中：　　ｂＩ（）：∞　，ｂ１（）＝　（２０）　　由式（１８）和（１９）可得：∞∞　‘…　∞　ｂ２（（ｏ）叼（１，）＝ｂ２（）ｅＶ（０，）　（２１）　　　联立式（１９）和式（２１）有：　　　　　ｒｂ（）］　ｌ６　　（）ｅ，（）‘　　　ｊ叼ｏ，＝０（２２）式ｃ２２，中的２×　　　６阶矩阵［６：：］可重写为　　　　　　　　　　　［－（）Ｂｚ（）］，其中日（）和Ｂ（）分另０为２ｘ４　　阶和２ｘ２阶矩阵。　　根据式（１４）和式（２２）可得：∞　　ｖ（ｏ，（ｃ））＝一Ｂ２（）一１Ｂ１（（ｃ））ｕ（Ｏ，）　（２３）　　　联立式（１８）和式（２３），则有：　　　Ｕ（１，ｃｃＪ）：Ｔ（）Ｕ（０，）　（２４）　其中：　（　【　　’　ｅ∞　（∞（　）］（２５）　　碳纳米管的边界条件可以表示为：　“∞∞　　　　Ｍ（）（０，）＋Ｎ（）Ｕ（１，）＝０（２６）　　　　　其中，Ｍ（）和Ｎ（）分别为碳纳米管左右两端的边　界条件。将式（２４）代人式（２６）后可得系统的特征　　方程为：　Ⅳ　　　ｄｅｔ［Ｍ（）＋（）Ｔ（）］＝０　（２７）　　　通过求解特征方程（２７）即可得到系统的固有　　频率。　：ｓ　　　州一。　　　　　　　　　　　　　　Ｏ０００１　　　　　　　　　　　　　　０００１Ｏ　　　　　　　　　　　　　　０Ｏ１０Ｏ　　　２０１６年第６期　　　　　　　玻璃钢／复合材料　５１　４算　例　首先为了验证上述所建模型以及求解方法的正　确性，利用文献［１９］中结果与本文计算结果进行了　　对比，如表１所示。本算例中采用的几何和材料参　　　　　　　　　　　　　　　数与文献［１９］完全相同：碳纳米管直径ｄ＝　　　　　　　０．６７８ｎｍ，弹性模型Ｅ：５．５ＴＰａ，质量密度Ｐ＝２．３　　　　　ｇ／（３１１＂１，等效壁厚６＝０．０６６ｎｍ，长径比Ｌ／ｄ＝１０，同时　　　不考虑基体对碳纳米管的影响，即ｋ＝。＝０。从表　　中可以看出，不同边界条件和非局部参数。下，本　　　　文结果与文献中结果吻合，验证了本文模型和求解　　　　　方法的正确性。在此基础上，进一步分析非局部粘　　　弹性介质对碳纳米管固有频率的影响情况。　各典型边界条件下单壁碳纳米管在非局部粘弹　　性基体中的前三阶固有频率如表２所示。在本算例　　　中取长径比Ｌ／ｄ＝２０，介质刚度系数ｋ＝１×　　１０，阻尼　　系数。＝１００，其他材料参数同上算例。从表中可以　　　　　　看出，随着碳纳米管非局部参数丁。的增大（即非局　　　　　部效应的增大），各阶固有频率明显减小。此外，各　边界条件下碳纳米管一阶固有频率的实部和虚部均　　　　随介质非局部参数的增大而逐渐增大，且介质非　　局部参数对碳纳米管高阶固有频率的虚部也具有　较大影响，而对高阶固有频率的实部影响则较小。　　　表１单壁碳纳米管在不同边界条件和非局部参数　　７＂０下的前三阶频率参数瓶　　　　　　√　　　　Ｔａｂｌｅ１Ｔｈｅｆｉｒｓｔｔｈｒｅｅ￣ｅｑｕｅｎｃｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓｆｏｒｔｈｅ　　　　　　　　　ＳＷＣＮＴｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄ０　　　　　表２典型边界条件下单壁碳纳米管在不同非局部参数。和Ｏｔ下的前三阶固有频率／ＧＨｚ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔａｂｌｅ２Ｔｈｅｆｉｒｓｔｔｈｒｅｅｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ／ＧＨｚｆｏｒｔｈｅＳＷＣＮＴｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎｏｎｌｏｅａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ０ａｎｄ　　　　　　图２给出了非局部参数丁。和介质刚度对碳　　　　　　纳米管频率比ＷＮＬ／ＯＪ的影响情况。其中，ＯＪＮＬ和　分别表示碳纳米管为非局部欧拉梁和经典欧拉梁模　　　型时的固有频率，碳纳米管的几何材料参数如上算　　例。从图中可以看出，随着介质刚度的增大，碳纳米　　　　　管固有频率的虚部（即阻尼比）明显减小，当介质刚　　　　　　　　　　　度由０增大到５ＧＰａ时，固有频率虚部减小了约　　１５％，且介质刚度对虚部的影响受非局部参数丁。的　　影响很小。碳纳米管固有频率实部随非局部参数７｜ｎ　　　的增大而呈非线性减小，同时随着介质刚度的增大，　　　　碳纳米管的非局部效应明显减小，例如当非局部参　　　　　　　数由０增大到０．５时，对应于Ｋｏ＝０和５ＧＰａ的固有　　　频率实部分别减小了约６０％和２５％。　　　（ａ）频率比ＷＮＬ／ＷＬ虚部　　　　　（ａ）ＴｈｅｉｍａｇｉｎａｒｙｐａｎｓｏｆｗＮｔ／ｗＬ　　　　　鬻／【｜研　　２０１６年第６期　　　　　　　玻璃钢／复合材料　５３　解方法的正确性，在此基础上进一步研究了非局部　　　粘弹性介质对碳纳米管固有频率的影响特性。得到　　的主要结论有：　　（１）本文基于非局部欧拉梁模型建立的碳纳米　管振动特性分析模型以及传递函数求解方法准确　　有效；　　（２）介质的材料刚度对碳纳米管频率比ｗｕｔ／ｗ．　虚部具有较大影响，同时碳纳米管的非局部效应随　　介质刚度的增大明显减小；　（３）介质的阻尼系数与碳纳米管的虚部呈线性　　　关系，且阻尼系数对固有频率实部影响很小；　（４）介质的非局部参数对碳纳米管一阶固有频　　　率的实部和虚部以及高阶固有频率的虚部均具有较　大影响。因此在分析粘弹性介质中碳纳米管的动力　学问题时，不仅需考虑碳纳米管的非局部效应，对粘　　　弹性介质的非局部效应也应有所考量。　参考文献　　　　　　［１］ｌｉｊｉｍａＳ．Ｈｅｌｉｃａｌｍｉｃｒｏｔｕｂｕｌｅｓｏｆｇｒａｐｈｉｔｉｃｃａｒｂｏｎ［Ｊ］．Ｎａｔｕｒｅ，１９９１，—　３５４：５６５８．　　　　　　　　　　［２］ＱｉａｎＤ，ＷａｇｎｅｒＧＪ，ＬｉｕＷＫ，ｅｔａ１．Ｍｅｃｈａｎｉｃｓｏｆｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓ　　—　［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓＲｅｎｅｗｓ，２００２，５５：４９５５３３．　［３］谢桂兰，赵锦枭，田杰，等，均匀化有限元预测复合材料层合板宏　观有效弹性性能［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２０１４（７）：２３．２７．　［４］王静荣，谢华清．聚氨酯／碳纳米管复合材料的研究进行［Ｊ］．玻　　璃钢／复合材料，２００８（４）：５３．５６．　［５］王国建，郭建龙，屈泽华．碳纳米管／环氧树脂复合材料力学性能—　影响因素的研究［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２００７（４）：１８２２．　　　　　［６］ＴｈｏｓｔｅｎｓｏｎＥＴ，ＲｅｎＺ，ＣｈｏｕＴＷ．Ａｄｖａ　　　　　ｎｃｅｓｉｎｔｈｅｓｃｉｅｎｃｅａｎｄ　　　　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓａ　　　　ｎｄｔｈｅｉｒｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ：ａｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．　　　　—　ＣｏｍｐｏｓｉｔｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，６１：１８９９１９１２．　　　　　　　　［７］ＢａｕｇｈｍａｎＲＨ，ＺａｋｈｉｄｏｖＡＡ．ＤｅｈｅｅｒＷＡ．Ｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓ－ｔｈｅ　　—　ｒｏｕｔｅｔｏｗａｒｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００２，２９７：７８７７９２．　［８］邱军，王玉磊．碳纳米管在聚合物基吸波复合材料中的应用［Ｊ］．—　玻璃钢／复合材料，２０１２（３）：８０８４．　　　　　［９］ＡｎｓａｒｉＲ，ＡｊｏｒｉＳ，ＡｒａｓｈＢ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｏｆｓｉｎｇｌｅ－ａ　ｎｄｄｏｕｂｌｅ－ｗａ　ｌｌｅｄｃａ　　　　　　ｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓｗｉｔｈｌａｙｅｒｗｉｓｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ：Ａｍｏｌｅｃｕｌａ　—　ｒｄｙ　　　—　ｎａｍｉｃｓｓｔｕｄｙ［Ｊ］．ＣｕｒｒｅｎｔＡｐｐｌｉｅｄＰｈｙｓｉｃｓ，２０１２，１２：７０７７１１．　　ｆ１０］ＧＯｖｅｎＵ．Ｔｒａ　　　ｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｏｆｓｉｎｇ—　　　ｌｅｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓ　　　　　ｗｉｔｈｉｎｉｔｉａｌｓｔｒｅｓｓｕｎｄｅｒｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．Ｃｏｍｐ　　ｏｓｉｔｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，　２０１４，１１４：９２－９８．　　［１１］ＧｉｂｓｏｎＲＦ，Ａｙｏｆ　　　　　　　　ｉｎｄｅＥＯ，ＷｅｎＹＦ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｏｆｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓ　　　　ａｎｄｔｈｅｉｒｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ：Ａｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．ＳｃｉｅｎｃｅＤｉｒｅｃｔ，２Ｏ７，６７：１－２８．　［１２］李淑萍，王兆清．重心插值配点法计算碳纳米管的振动频率　—　［Ｊ］．玻璃钢／复合材料，２０１２（６）：３３３６．　　［１３］ＥｒｉｎｇｅｎＡＣ．Ｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ　　　ｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｏｃａ　　　ｌｅｌａｓｔｉｃｉｔｙａｎｄ８４）－　　　　　　　　ｌｕｔｉｏｎｏｆｓｃｒｅｗｄｉｓｌｏｃａｔｉｏｎａｎｄｓｕｒｆａｃｅｗａｖｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ　—　ＡｐｐｌｉｅｄＰｈｙｓｉｃｓ，１９８３，５４：４７０３４７１０．　　　　　［１４］ＥｒｉｎｇｅｎＡＣ．Ｎｏｎｌｏｃａｌｃｏｎｔｉｎｕｕｍｆｉｅｌｄｔｈｅｏｒ　　ｉｅｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：—　ＳｐｒｉｎｇｅｒＶｅｒｌａｇ，２００２．　　　　［１５］ＷａｎｇＢ，ＤｅｎｇＺ，ＯｕｙａｎｇＨ，ｅｔａ　　　　—　１．Ｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｗａｖｙｓｉｎｇｌｅ　—　　　　—　ｗａｌｌｅｄｆｌｕｉｄｃｏｎｖｅｙｉｎｇｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓｉｎｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓｆ　ｉｅｌｄｓ［Ｊ］．　　　ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｌｉｎｇ，２０１５．　　　　　　　　　—　［１６］ＫｉａｎｉＫ．Ａｍｅｓｈｌｅｓｓａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｆｒｅｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｅｍ　ｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅ－ｗａ　　　　　　ｌｌｅｄｎａｎｏｔｕｂｅｓｗｉｔｈａｒｂｉｔｒａｒｙｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　　　　　　　ａｃｃｏｕｎｔｉｎｇｆｏｒｎｏｎｌｏｃａｌｅｆｆｅｃｔ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉ－　—　ｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，２０１０，５２：１３４３１３５６．　　　　　　　　　—［１７］ＷｕＣＰ，ＬａｉＷＷ．Ｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｎｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅｗａ　ｌｌｅｄ　　　　　　　　　ｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｗｉｔｈｖａｒｉｏｕｓｂｏｕｎｄａ￣ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇｔｈｅＲＭＶＴ－　　　　　　　　　ｂａｓｅｄｎｏｎｌｏｃａｌＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｂｅａｍｔｈｅｏｒｙａｎｄＤＱｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．　　ＰｈｙｓｉｃａＥ，２０１５，６８：８－２１．　　　　　　　　　　［１８］ＦｒｉｓｗｅｌｌＭＩ，ＡｄｈｉｋａｒｉＳ，ＬｅｉＹ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｂｅａｍｓｗｉｔｈ—　　　　　　—　ｎｏｎｌｏｃａｌｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａ　　　ｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａ　　　　ｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００７，７１：１３６５．１３８６．　　　　［１９］ＷａｎｇＣ，ＺｈａｎｇＹ，ＨｅＸ．ＶｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｏｃａｌＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｂｅａ　　ｍｓ　［Ｊ］．Ｎａｎｏｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００７，１８．　　　　　　　　　　　ＶＩＢＲＡＴＩｏＮＣＨＡＲＡＣＴＥＲＩＳＴＩＣＳｏＦＳＧＬＥ．ＷＡＬＬＥＤＣＡＲＢｏＮＮＡＮＯＴＵＢＥＳＥＭＢＥＤＤＥＤ　　　　　　ＩＮＮＯＮ．ＬＯＣＡＬＶＩＳＣｏＥＬＡＳＴＩＣＭＥＤｎＪＭ　—　　ＬＩＱｉｎｇｌｉ．ＺＨＡＯＪｉｎｇ　　　（ＺｈａｎｇｊｉａｋｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｇｊｉａｋｏｕ０７５０００，Ｃｈｉｎａ）　　　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｎｏｎｌｏｃａ　　　　　　　—　　ｉｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｓｉｎｇｌｅｗａｉｌｅｄｃａｒｂｏｎ　　　　　　　　—　　　　　ｎａｎｏｔｕｂｅｓｅｍｂｅｄｄｅｄｉｎｎｏｎｌｏｃａｌｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｍｅｄｉｕｍａｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．ＴｈｅＥｕｌｅｒＢｅｒｎｏｕｌｌｉｂｅａｍｍｏｄｅｌａｎｄｎｏｎｌｏｃａｌ　　　　　　　　　　　　　　　　—　ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃａｒｂｏｎｎａｎｏ　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔｕｂｅｓ．Ｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｔｈｅｎｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏｄｅｒｉｖｅｔｈｅｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅｅｍｂｅｄｄｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏ．　　ｔｕｂｅｓｗｉｔｈａｒｂｉｔｒａｒ　　　　　　ｙｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔｌｙ．ａＳＷＣＮＴｅｍｂｅｄｄｅｄｉｎｎｏｎｌｏｃａ　　　　ｉｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｍｅｄｉｕｍｉｓ　　　　　　　　　　　　　　　ｔａｋｅｎａｓａｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅ．ａｎｄｔｈｅｆｉｒｓｔｔｈｒｅｅｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅＳＷＣＮＴａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｆ　　ｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　　　　　　ｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｎｏｎｌｏｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ．ｔｈｅｉｎｆ　　　　　　　—　ｌｕｅｎｃｅｓｏｆｎｏｎｌｏｃａｌｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｍｅｄｉｕｍｏｎｔｈｅｎａｔ　　　　　　　ｕｒａｉｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓａｒｅｅｘａｍｉｎｅｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅｅｆｆ　　　　　　ｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｏｄｅｌｉｎｇｍｅｔｈｏｄｆ　　—　ｏｒｔｈｅｖｉｂｒａ　　　　　　　　　　ｔｉｏｎｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｔｈｅＳＷＣＮＴｓｅｍｂｅｄｄｅｄｉｎａｍｅｄｉｕｍ．　　　　　　　　　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅｓ；ｎｏｎｌｏｃａｌｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｔｈｅｏｒｙ；ｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；ｎｏｎｌｏｃａｉｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｍｅｄｉｕｍ　㈠麟