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　１０　　　复合材料非线性力学的细观分析　　２００９年１月　复合材料非线性力学的细观分析　周祝林，姚　　　　辉，刘剑　　　　（上海玻璃钢研究院，上海２０１４０４）①　　摘要：纤维增强复合材料在偏轴拉压和剪切时有明显的非线性，产生非线性力学性能的原因是：基本的非线性；（纤维③　　的转动；基体的逐步开裂。本文对复合材料的非线性力学进行细观力学分析，理论值与实测值较符合，可供多向复合材料的　　强度分析时使用。　　　　　　关键词：复合材料；基体；非线性；开裂；细观力学　中图分类号：ＴＢ３３２　　文献标识码：Ａ　—　——　文章编号：１００３０９９９（２ｏｏ９）０１００１００５　　　　１前言　极大多数复合材料都具有明显的非线性力学性　　能，其中偏轴拉压和剪切的非线性更为明显。纤维　增强复合材料的非线性一方面与基体材料的非线性　有直接关系，另外，纤维增强复合材料既是材料又是　　结构，其力学性能与纤维的结构，也即与纤维的方向　有密切关系，同时也与基体开裂过程有关。一　　　般情况，纤维增强复合材料的非线性力学有　　　下列三种类型¨　　　：　　　　　（１）纤维增强热固性塑料（纤维主要是玻璃、　　　硼、石墨等，基体主要是聚酯、环氧树脂等）的非线　　　性力学，主要表现在偏轴拉压和剪切应力应变围的　　　非线性，垂直纤维的横向表现较弱的非线性。方向　　性拉压表现较明显的非线性；　　（２）硼纤维增强铝的金属基复合材料，在横向　　和剪切都表现较明显的非线性力学特性；　（３）碳．碳复合材料在所有材料主方向上的力学　性能都表现非线性。　　对于纤维增强塑料，温湿度和工作环境对其力　学性能也有较强影响，往往出现较明显的非线性。　　２原材料的力学性能　　目前的玻璃纤维是脆性的，它的应力一应变曲线　　　　直到破坏也是线性的。而纱的应力．应变曲线，由于　　单纤维受力的不一致以及单纤维强度的不一致，呈　　　现一个逐步断裂的过程，如图１所示。　　　　树脂基体的应力．应变曲线对于不同受力状态　　　　是不同的，受拉时，应力．应变曲线基本上是线性，受　　　压时，很大范围内应力一应变曲线呈线性，只有当应　　　　　力超过１１０ＭＰａ，约为破坏强度的８０％以上时才出　　　　图１玻璃纤维及股纱的应力．应变曲线　　　　　　　现非线性。受剪时有明显的非线性，如图２和图３　　　　所示㈦。　　　图２聚酯树脂（３０６）浇铸体的应力一应变曲线　　　　在下面分析中假设纤维的应力．应变曲线为线　　　性。树脂基体的拉压应力．应变曲线为线性，剪切的　应力一应变曲线为非线性。　　假设剪切应力一应变曲线为＿】：　　ｒ＝ｓｌ下＋ｓ２。　（１）　　　　收稿日期：２００８－０１３０　　　本文作者还有张小苹，孙佩琼和袭震字。　　　　　　作者简介：周祝林（１９３８－），男，教授，主要从事复合材料性能及测试方法研究、产品设计和标准等。　薹１｝ＬＩ＇／　２００９．Ｎｏ．１　　２００９年第１期　　　　　　　玻璃钢／复合材料　翻　　　图３环氧树Ｊ１￣（３０６）浇铸体的应力一应变曲线　　　　　　　用最小二乘法，最后求得ｓ。和ｓ的值如表１　　所示。　　　—　　表１公式（２１）中的Ｓ．，Ｓ：系数　６．８８×　ｌＯ一５１．Ｏ４４×—　　ｌ００６．３８×—　１０５　　０．９８４ｘ１０－５　　３沿纤维方向拉伸的非线性力学的细　　　观分析　　纤维与树脂基体组成复合材料，当复合材料是　　单向纤维增强或正交双向增强时，以玻璃钢为例，沿　　纤维方向拉伸的应力．应变曲线，有几个转折点，由　几段直线组成。对于玻璃钢径向，转折程度很微小，　有时看不出来，可近似当做直线。对于纬向，有时转　折点较明显。有关沿纤维方向拉伸的非线性力学的　　细观分析详见文献［１４］和文献［１５］。　　　４偏轴拉伸的非线性力学的细观分析　　纤维增强复合材料偏轴拉伸的应力．应变曲线　　　　有较明显的非线性，双向正交增强时，４５。方向偏轴　拉伸的非线性最明显。复合材料中的纤维在未与树　　脂基体复合前是柔软的，只能承受轴向应力。当载　　荷不沿复合材料的纤维方向时，由于复合材料是一　　个结构，应力按纤维与树脂基体的结构来分配，纤维　　和树脂基体都要求复杂应力状态，特别是树脂基体。　　当偏轴拉伸，树脂基体除承受拉伸应力外，还要承受　　　　剪切应力。由第２部分可知，树脂基体剪切应力应　　变曲线是非线性的，因此，偏轴拉伸时要出现明显的　　非线性。另外，复合材料中的纤维象互相交织的网　　　　　　状结构，在受力过程中要发生转动，这必然引起应　　力．应变曲线的非线性。同时，纤维交叉处的树脂要　　　求承受较大的复合抗力，较早出现树脂开裂，有一个　　　　较长的破坏过程，这也引起应力－应变曲线的非线　　性【１５］。　　　图４偏轴拉伸不意图　　　如图４所示，当复合材料承受偏轴拉伸时，可把　　　　拉伸应力化为纤维方向的应力，其分量为　　∞　　　　盯Ｌａ洲１　　ｒ＝。ｓｉｎ　｝　（２）　　　ｒ：　　　ｉ。　ｊ　其相应的应变为：　ｏ＂Ｔ　（３）　ｓ　　孔　（４）　咒　，　ｙ　（５）　　　　　　其中，ｓ，ｓ分别为经纬向的应变；ｏｒ，分　　　别为经纬向的应力；Ｅ，Ｅ分别为经纬向的弹性模　　　　　量；ｕ扎，Ｌｒ为泊松比；ｒＬｒ，ｙＧＬｒ分别为经纬的剪　　切应变、应力、模量。　　在下面分析中，主要针对１：１玻璃布制成玻璃　　钢，对于这种玻璃钢，在初步分析中可假设经纬向的　　　　　　　　　　　　应力－应变曲线为线性，近似地取Ｅ，为常数。　　　　　Ｇ是非线性的，与组份材料性能，组份比的关系如　　下［Ｊ２Ｉ：　二　二　：　＜　ｌ一　　　（１＿）　　一脚　ｌ一　　　（１一）——————　　Ｇ　（６）　１一　（１一　　　）（１一）　　　　　　其中，为纤维的百分比体积含量；Ｇ，，Ｇ分别　　＇／ＣＭ嬲　　　　瓴１　ｌ２　复合材料非线性力学的细观分析　　２００９年１月　为纤维和基体的剪切模量。　　　　　由于Ｇ是非线性的，所以Ｇ是非线性的。　　　考虑到复合材料变形一致，式（５）可换成另一　　形式：　ｙ￡ｒ　　＝Ｓｌ仃础ｒ＋ｓ２７ｒｒ　（７）　　ｒ札，＝　　导ｒ，　（８）ｔ．　ｒＬＴ　　　　纤维、基体的变形与复合材料变形的几何关系　　　　如图５所示。　０　　图５纤维、基体的变形与复合材料变形的几何关系　沿经向纤维方向的伸长为：　　　　　ｂ＇ｂ＝Ｌｃｏｓ　沿纬向纤维方向的伸长为”　　　ｂｔｂ８ｒｓｉｎａ　　图６偏轴拉伸的应力－应变曲线　　实际上，偏轴拉伸在未拉断之前往往在纤维交　　叉处先脱胶发白。实质是该处的树脂基体受力比较　　严重，比较早就出现开裂。由基体强度控制的强度　理论可以得出纤维交叉处开裂时的偏轴拉伸的转折　　点应力，其计算公式为ｕ引：　　：　（１５）　　式中：＝　　　　　　譬ｃ２＋＋＋　（９）　＋　（１Ｏ）　一　剪切位移为”　　　ｂ＇ｂ＝ｒｓｉｎａ　（１１）　　　　从这些变形可求得０ｃ方向的应变及纤维的转　　动：　　　　ｓａ＝￡ＣＯＳ　　’　＋ｒｓｉｎ　　　　　　＋￡ｒＣＯＳａｓｉｎ０ｃ　（１２）　・　　・　２　　ｙ口　　　　—　　　　　　—　　　ＬＣＯＳｓｉｎＴＣＯＳｓｉｎｙＬｒＣＯＳ　（１３）　　　　　　　　　　　　　　　８＝￡ｃｏｓｓｉｎ一ｒｃｏｓｓｉｎａ＋ｙ￡ｒｓｉｎ　（１４）　　　　　　把式（２）～式（５），式（７）～式（８）代入式（１２）　　中，则可得出偏轴拉伸的应力一应变关系，显然是非　　线性的。同时在式（１２）中的ｃｏｓｄ，ｓｉｎａ还应计及纤　　　　　　　维的转动ｙ和。按式（１２）的计算结果，图６中　　　　Ｇ，＝２８．７ＧＰａ，Ｇ＝１．３５ＧＰａ。计算时，取ＥＬ＝１８．　　　　　　　　　５ＧＰａ，Ｅｒ＝１７．５ＧＰａ，Ｌｒ＝０．１５，孔＝０．１４，　＝　　　　４２％（Ａ＝４１％，Ａ为树脂含量）。（图６的理论曲　　　　　　　线、计算ｒ时已按式（９）计算，图６中的实验点取　文献［１６］。　　　Ｆｅ　　　峨ｌ１一　　　　　　　［譬（￣１Ｃ０８２０ｌ＋Ｏ＂ＫＴ一学一）２＋ｓｉｎｚ】吉一一　　　△　（Ｋ一）旭——　一　一　一　　—　（Ｋ］）ＡＴＥ，．Ｅ／Ｅｒｒ——　一　　　　　其中，ｏｒｎ，ｏｒＫＴ分别为经纬向固化残余应力。　　　　　Ｋ，Ｋ分别为纤维、基体的线膨胀系数；ＡＴ为温度　　　　　　差；Ｆ几，Ｆｒｒ分别为经纬向纤维体积含量；。，分别　　为经纬向的修正系数，由经纬向拉伸强度得出，对于　　　　　图７的试验数据，。＝０．７９、２＝０．８４。对于纤维　　　　交叉处的基体，可取＝１。按式（１５）计算的理论　　转折点与实测转折点列于表２。计算时取树脂含量　　　　　　Ａ＝４１％，Ｅ＝３．５ＧＰａ，Ｅｆ：７０ＧＰａ，　　＝５８ＭＰａ，一＝　　１３０ＭＰａ，Ｋ＝６０×　　ｌ０～／￣Ｃ，Ｋｆ：５×　　ｌ０Ｉ¨　　／￣Ｃ，　　　ＡＴ＝１００ｏＣ。　　偏轴拉伸的比例极限也列于表２，理论值按下２（　一：一＿，，　　—　　ｎｎ　　—　蠡　尝　堂　堂　．一　，　一　一　＋　　、　　、　　６　　７１　１　，Ｌ　，　　　●　●　　　　●　●　，ｌｌｌＩ，Ｉ－Ｊ　　　２００９年第１期　　　　　　　玻璃钢／复合材料　１３　　列公式计算。取其最小者：，　Ｐ　口—丁　　Ｐ　ｎ■丁　　　ａ　（１８）　　　　　　　　其中，ｃ％Ｐ、尸、Ｐ分别为经纬向拉伸比　例极限及经纬剪切比例极限。　　表２偏轴拉伸比例极限和转折点应力的计算值与实　　　　　测值的比较　实测值　比例极限№　　／％　　转折点应实测值　　　　力Ｏ＂Ｒ计算值　　／ＭＰａ相对误差　　图７偏轴拉伸比例极限和转折点应力　　　　由图７可知，经比例极限和转折点后，应力一应　　　变曲线有较大变化，这是由于纤维交叉处树脂脱胶　　发白，失去承载能力，使应力重新分配，未破坏的树　　脂要承受更大的应力，因此使应变增大较快。另外，　　　　　纤维交叉处的树脂开裂后，使纤维更容易转动＿１。　　因此也增大应变量，计及此影响，在式（８）中要增加一　　　　个大于ｌ的修正系数。＂　　　ＴｍＬｒ＝ｒＬｒ　（１９）　Ｄ＇ＬＴ　　　　式中，系数近似可取：　，ｒ　　：　（２０）　　５剪切非线性力学的细观分析　　　　　如图８所示，当沿经纬向纤维受剪时，其应力一　　应变曲线有明显的非线性。在这种受力状态，纤维　　不承受拉压应力。由于受剪，基体要承受大部分剪　　力，其剪应力如同式（８）、式（９）为：　　式中，　　ｑ１０００　５００●—————一”　．ｃ　　　　图８经纬向纤维受剪　　　ｒｒ：　Ｇｍ　Ｌｒ（２１）　Ｇ　ｒＬ　Ｔ　Ｌｚ　　：　（２２）　　　图９理论值与实验值　　　　式（２１）的计算结果如图９所示，实验值取自文　　献［１６］。　　　如同偏轴拉伸一样，沿经纬向剪切时，在完全破　　坏失去承载能力之前，在纤维交叉处要发生开裂发　　　　白，在应力一应变曲线上出现转折点，按与式（１５）类　　　似的公式计算，理论的转折点应力为４０ＭＰａ，实测为　　　４２ＭＰａ，相对误差为４．８％。　　　当纤维交叉处基体逐步开裂后，整个复合材料　　刚度退化，应力重新分配，其它部位的树脂要承受更　　大的应力，因此转折点后应变增加得更快，计算结果　与实测值很符合。　　当剪应力方向与纤维成４５。时，可以把剪力分解　　　为沿经纬纤维方向的拉压应力，如图１０所示。整个　复合材料的变形就由经纬向的伸长收缩而产生。一　　　般经纬向的应力．应变曲线可近似地当作线性。因　　　此，沿４５。方向剪切的应力一应变曲线可近似地当作线　　　１斑ｌｌ瓣复　　５　　４¨　　０　５　５¨　　　１　　９　　２　８　　９Ｊ　印　０　０　１４　复合材料非线性力学的细观分析　　２００９年１月　　　性，如图９所示。若对破坏过程进行细观分析，同样　　可得到与经纬向拉伸一样的转折点，在此不赘述。　ｌ‘　Ｔ　　　　图１０４５。方向剪切时的受力图　　　６结论　　从上面分析可得出下列几点结论：　　（１）纤维增强复合材料的非线性力学的细观分　　析结果与实测值很符合。引起非线性力学性能的主　①　　②　　　要原因有三个：基体的非线性；纤维的转动；③　基体逐步开裂；　　　　（２）更加精确的细观分析时，应计及经纬向本　　　身的非线性，经纬向拉伸的非线性主要由基体逐步　　　开裂引起；　（３）偏轴拉伸和经纬向剪切的非线性细观分析　对理论估算多向纤维增强复合材料的破坏强度是很　必要的，也是分析多向纤维增强复合材料非线性力　　　学的基础。　参考文献　　　　　　　　　［１］陈浩然．非线性多模量复合材料的增量应力和增量应变关系“”　［Ｃ］．中国力学学会复合材料力学专题讨论会，１９８４．　　　　［２］Ｊ．Ｎ．Ｃｒａｄｄｏｃｋ，Ａ．Ｒ．ＺａｋａｎｄＪ．Ｎ．Ｍ￣ｅｍｓ，ＮｏｎｌｉｎｅａｒＲｅｓｐｏｎｓｅ　　　　　　—　ｏｆＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａｔｅｒｉａｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａｔｅｒｉ　ａｌｓ．１９７７，（１１）：２０４－２２１．　　　　　—　［３］ＳＡＤＡＯＡＭＬｌｌＭＡＡＮＤＴＳＯＮＤＹＯ￣ＡＤＡＣＨ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｔｒｅｓｓＳｔ　　　　　　　—　ｒａｉｎＲｅｓｐｏｎｓｅｏｆＬａｍｉｎａｔｅＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｔｕ＇ｎａｌｏｆＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａ—　ｔｅｒｉａｌｓ，１９７９，（１３）：２０６２１８．　　　　—　［４］Ｒ．Ｍ．Ｊｏｎｅｓ．ＭｏｄｅｌｉｎｇＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＣａｒｂｏｎＣａｒｂｏｎ　　—　ＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａｔｅｒｉａｌｓ［Ｊ］．ＡＩＡＡＪｏｕｒｎａｌ，１９８０，１８（８）：９９５１００１．　　　　　　—　［５］Ｒ．Ｍ．Ｊｏｎｅｓ．ＡＮｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃＣｏｍｐｌｉａｎｃｅＭａｍｘＡｐｐｒｏａｃｈｔｏＮｏｎ　　　　　ｌｉｎｅａｒｍｕｌｔｉｍｏｄｕｌｕｓｏｒｔｈｏｔｒｏｐｉｃＭａｔｅｒｉａｌｓ［Ｊ］．ＡＩＡＡＪｏｕｒｎａｌ，１９７７．　　　　　—　［６］Ｒ．Ｍ．ＪｏｎｅｓａｎｄＨ．Ｓ．Ｍｏｒａｎ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｔｒｅｓｓＳｔｒａｉｎ　　　　　　ＢｅｈａｖｉｏｒｏｆＦｉｂｅｒ．ＲｅｉｎｆｏｒｃｅｄＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａｔｅｒｉａｌｓ［Ｊ］．ＡｌＡＡＪｏｕｒ－　ｎａｌ，１９７７．　　　　　　　　［７］Ｒ．Ｍ．ＪｏｎｅｓａｎｄＡ．ＲＤｕ￣ｅｙ．ＭａｔｅｒｉａｌＭｏｄｅｌｓｆｏｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｅ－　　　　ｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＧｒａｐｈｉｔｅ［Ｊ］．ＡＩＡＡＪｏｕｒｎａｌ，１９７６．—　　　　　［８］Ｒ．Ｍ．Ｊｏｎｅｓ．ＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌＣｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｏｆＭａｔｅｒｉａｌＭｏｄｅｌｓ　　　　　　ｆｏｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＧｒａｐｈｉｔｅ［Ｊ］．ＡＩＡＡＪｏｕｒｎａｌ，１９７６．　　　　　　　　［９］Ｒ．Ｓ．Ｓａｎｄｈｕ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＢｅｈａｖｉｏｒｏｆｕｎｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌａｎｄＡｎｅｐｌｙ　　Ｌａｍｉｎａｔｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌＡｉｒｃｒａｆｔ，１９７６．　—　　　　　［１０］ＮＡＳＡＣＲ２３１３．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＢｅｈａ￣ｏｒｏｆＦｉｂｅｒ［Ｊ］．ＣｏｍｐｏｓｉｔｅＬａｍｉ－　ｎａｔｅｓ，１９７４．　　　　　—　［１１］ＡＤ－７７９９２７，Ｒ．Ｓ．Ｓａｎｄｈｕ．ＵｌｔｉｍａｔｅＳｔｒｅｎｇｔｈＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＳｙｒｍｎｅｔ　　ｒｉｃＬａｍｉｎａｔｅｓ，１９７４．　　［１２］上海玻璃钢研究所．玻璃钢结构设计［Ｍ］．北京：中国建材工业　　出版社，１９８０．　　　　　　　　　　　［１３］周祝林．纤维增强复合材料设计［Ｊ］．机械工程材料，１９７９，　（４）：４４－５４．　　　　　［１４］周祝林．纤维增强复合材料的强度理论及应力－应变曲线的转　　　“　　　　　”　　折点［Ｃ］．中国力学学会复合材料力学专题讨论会论文，　１９８４．　　　［１５］周祝林．纤维增强复合材料应力一应变曲线转折点的细观应力　　　分析［Ｃ］．上海市力学学会八三年年会论文，１９８３．　　　　　　　　　　　　　　［１６］周祝林．纤维复合材料的方向性性能及与强度准则的关系　　［Ｊ］．玻璃钢，２００１，（４）：５．　　［１７］韩耀焕等．蔡一希尔失效判据在Ｗ－４２０／ｃａ复合材料中的实验　　研究［Ｊ］．全国第二届复合材料学术会议论文，１９８２．　　　　　　　　　　ＮｏＬＩＮＥＡＲＭＩＣＲｏＭＥＣＨＡＩＣＳＡＮＡＬＹＳＩＳｏＦＣＯＭＰＯＳＩＴＥＳ　—　　　ＺＨＯＵＺｈｕｌｉｎ，ＹＡＯＨｕｉ，ＬＩＵＪｉａｎ　　　　　（ＳｈａｎｇｈａｉＦＲＰＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０１４０４，Ｃｈｉｎａ）　　　　　　　　　　　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓｈａｖｅｏｂｖｉｏｕｓｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｅｈａｖｉｏｒｏｎｏｆｆ－ａｘｉｓｔｅｎｓｉｏｎ－ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎａｎｄｓｈｅａｒ．Ｔｈｅｒｅａｒｅ　　　　　　　　　　　　　　　—　ｓｅｖｅｒａｌｒｅａｓｏｎｓｆｏｒｔｈｉｓ：（￣）ｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｍａｔｒｉｘ；（￣）ｒｏｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｂｅｒ；ｃｒａｃｋｏｆｍａｔｒｉｘｇｒａｄｕａｌｌｙ．Ｔｈｉｓｐａ　　　　　　　　　　　　　　　ｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｍｉｃｒｏｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｖａｌｕｅｓａｒｅｉｎａｇｒｅｅｍｅｎｔｗｉｔｈ　　　　　　　　　　　　　　ｔｈａｔｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓ．Ｔｈｉｓｔｈｅｏｒｙｃａｎｂｅａｐｐｌｉｅｄｆｏｒｓｔｒｅｎｇｔｈａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｕｈｉｄｉｒｅｃｔｉｏｎｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ．　　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓ；ｍａｔｒｉｘ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ；ｃｒａｃｋ；ｍｉｃｒｏｍｅｃｈａｎｉｃｓ　　（上接第１８页）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｈｅｗｈｉｃｈｌｉｅｓｏｎａｃｃｅｐｔａｂｌｅｅｒｒｏｒ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｃｉｒｃｕｌａｒｃｕｔｏｕｔｏｎｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｉｓｅｑｕｉｖａｌｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｖｅｌｙｔｏ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔｈｅｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｃｕｔｏｕｔ．Ｄｅｓｉｇｎｆｏｒｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｈｏｌｄａｎｄｒｅｐａｉｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒｃｏｍｐｏｓｉｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　　　　　　　　　　ｗｉｔｈｃｕｔｏｕｔａｒｅａｂｌｅｔｏｃｏｍｐｌｅｔｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇａｓｉｔ．　　　　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｃｕｔｏｕｔ；ＦＲＰ；ＦＥＡ　　　　＇／ＣＭ２００９．Ｎ０Ｉ１　０／　　卜