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　８　　复合材料自动铺丝轨迹规划　　２０１４年３月　　复合材料自动铺丝轨迹规划　　　尹纪龙，沈景凤，章志东　　　　（上海理工大学机械工程学院，上海２０００９３）　　摘要：本文针对复合材料回转体类构件，提出了回转体构件自动铺丝轨迹规划算法。应用管道的数学模型，建立了基于　三次样条插值的自动铺丝轨迹规划模型。首先探讨了通过三次样条插值对芯模中心线方程的求取，进而建立芯模参数曲面方　程，最后提出适用于回转体类构件的铺丝路径生成算法。应用本文的研究成果，在ＭＡＴＬＡＢ中完成实例验证。结论表明，该算　　　法生成的铺丝轨迹能够满足实际铺丝的工艺要求和工程需要。　关键词：复合材料；自动铺丝；轨迹规划；三次样条插值　中图分类号：ＴＢ３３２　　　———　文献标识码：Ａ文章编号：１００３０９９９（２０１４）０３０００８０５　　　　　１引言　自动铺丝技术是近代科技时代中快速成长起来　　　　的自动成型技术之一，它主要是将复合材料纤维预　　　浸丝束按照一定的铺丝方向在芯模表面铺放，并通　过加热纤维丝束使其软化，最后通过压辊将其压紧　　　在芯模表面成型，最后形成复合材料构建。进入２ｌ　　　世纪后，随着控制系统的数字化，铺丝技术得到迅猛　　　地发展，而ＣＡＤ／ＣＡＭ技术的应用使得自动铺丝机　　越来越趋向于智能化。　　　　自动铺丝技术的核心问题是铺丝路径设计，也　　是研究自动铺丝技术的难点。铺丝路径也就是复合　　材料纤维束在芯模表面排列的方向、顺序，是设计者　　　　在铺丝之前必须指定好的。目前，国内外对铺丝路　　　径的研究主要有以下几种：美国著名高校弗吉尼亚　　理工大学教授Ｃ．ｗａｌｄｈａ￣在其科研论文中提出了平　　　　移参考丝束轨迹，此种方法对于曲面结构简单的芯　模来说路径规划比较简单，步骤少，但是对于一些曲　　面构型比较复杂的芯模，其路径规划的算法有待于　　　修正；南京航空航天大学在对铺丝路径研究上面也　　　颇有贡献，党旭丹老师提出了一种新的关于基于测　　地线的平行等距轨迹规划算法而生成的复合材料铺　　　丝路径，但是在该算法中运用到高阶微分方程，计算　量非常繁琐；Ｓｈｉｒｉｎｚａｄｅｈ在其科研论文中提出了基　于平截线、等距铺丝路径规划方法，此种方法适合去　　　曲率面较小的曲面，对于一些曲面复杂如螺旋形状　　　则很难用此种方法构造初始的路径；南京航空航天　大学的周焱等利用几何插值的方法提出了用０。、±　　　４５。、９Ｏ。铺丝方向，即铺丝的方向不用其他的角度统一　　采用此四种角度。　　根据国内外自动铺丝路径设计技术的分析，本　　文提出了通过三次样条插值对芯模的轴线选取继而　建立芯模参数曲面方程，提出了适用于回转类构件　　的自动铺丝轨迹规划。　　２铺丝路径规划　　　２．１三次样条插值对芯模中心线的求取　本文通过对芯模进行切片离散继而通过三次样　　　条插值求得其中心线，如图１所示，是非规则轴线曲　　　　面，其中心线无法用一个固定的公式可以表达。　　　　图１管道曲面　　图２离散后的管道曲面　　　　　首先，对图１中的轴线进行切片离散，现在以最　大丝束的宽度为间隙，在曲面的轴向线上作一系列　点，然后过该点作垂直于该点切向量方向的曲面，这　　—　收稿日期：２０１３－０６１９　　　　　　　　作者简介：尹纪龙（１９８７－），男，硕士研究生，主要从事复合材料自动铺丝ＣＡＤ／ＣＡＭ技术研究。　　ＦＰ，＿Ｐ／ＣＭ｜　　ｌｏ　　２０１４年第３期　　　　　　　玻璃钢／复合材料　９　　　　　　　样上图中的管道曲面就被离散成一个个的离散圆　　　　环，如图２所示。对图２中的每个圆环取其圆心（对　　　……　于非圆环求其几何中心），设第一个、第二个第Ⅳ　　　……　　　　　个圆心的位置分别为Ｘ、Ｘ２、，满足Ｘ＜Ｘ２……　　　　　……　　　＜Ｘ，＜Ｘ其对应的函数值为ｙｌ、、。　　　然后，对其各个点进行三次多项式插值。设最终的　　　　三次多项式的插值方程式为Ｓ（Ｘ），该多项式方程　　　　满足：ｓ（ｘ）＝Ｙ（Ｘ），同时在各点处具有二阶连续　　可导性质。　　　　　　　　　现在对区间［ＸＫ，瓦＋］段进行三次多项式插　　　值。设：　　　　５（１＋２箍）（　（１＋２　　　　　ｔｘ－ｘＫ．／ｉ２＋　（１）　　　　　（）２。ｃ　）　　　　　　　　　　在上式中，令Ｌ＝＋一，并对上式进行二　　　　　阶求导，最后口Ｊ得：　　　．ｓ（）：　　　　　（＋ｒ）　＋　＋　。　　　由于插值多项式必须要符合二阶连续可导，所　　　　　　　　　　　以应该有：在［一，戤］段中的．ｓ一。（）在点的　　　　　　　　　　　值与［，＋］中的．ｓ（）在的值相等。　　　　将Ｘ（Ｋ）代入（２）可得：　　　　　　　　　　ｓ（）＝（＋。一）一４　Ｋ一　　Ｋ　＋ｔ　（３）—　　Ｋ—　　　　　　　ｓ（）＝Ｋ　—　　　　　　（＿１）＋去一。＋Ｋ１（４）　ｕ——　　　Ｋｌ一一　　　　　　　　　　　即有等式．Ｓ（）＝ｓ一（）成立，将式（３）　　　与式（４）代人可得：一　　　　　　＋２（亡＋）＋＋ｒ　　　　　３（＋）　一　　上式可以最终变为：　厂一　　　１＋２ＭＫ＋Ｐ＋１＝ＧＫ　（６）　　拭南　，　＝　３　　　），由）可知其方　　　　　……　　　　Ⅳ　程式中主要的未知数为Ｍ、、＋，一共有　　　　　＋１个，而对于式（６）一共可列出Ｎ一１个等式，则对　　　—　　　初始点可令：（＝毒（一Ｙｏ）一Ｌ￣ｏＭｏ２＝，　　对其化简最后可得：　　２眠＋ＭＭｌ：３　　一Ｆｏ：Ｇ。　（７）　　　２眠＋ｌ＝　一＝Ｇ０　（７）　Ⅳ　根据同样的方法对最后一段即第一１段区间　　　　进行二次求导，将代人即可得出：＋２Ｍ　Ｍ　　２Ｍ：３　一Ⅳ　　　Ｆ＿１：Ｇ（８）　　＋，ｖ＝　一Ⅳ　＿１＝Ｇ，ｖ（）　　　　　上式中，ＦＫ一＝ｓ一（ＸＫ）。　　　　　　联立（６）、（７）、（８）三个方程可得：　Ｇ０　Ｇ２●　　　：ⅣＧ一　２Ⅳ　Ｇ　（９）　　　　上式中，方程组解是唯一的，将解出的、。…　、　Ⅳ　　代入式（１）即可求出一１段的三次曲线　方程。　　如图３即为插值后的曲线图。　　图３三次样条插值　　２．２芯模参数曲面的建立　　　　在实际的铺丝过程中，芯模的表面有很多种类　　　　　型。本文讨论的是曲面形状不规则，无法用一个函　数式直接的对其进行表达，如果要想在此类曲面上　　　进行丝束轨迹规划，首先要对其表面进行研究，对不　规则曲面建立参数方程。　　　在对不规则曲面进行分析时，首先取其中一部　分对其剖分，图４所示为弯管的部分图。ｓ为弯管　　　　的曲面，其中的圆为该弯管中某段的包络球的截面；　　Ｏ（）为弯管的中心线方程（可通过上节介绍中求　　　　　　　出）；０（）为该轴线在某点的切向量；Ｐ为在曲面５　　　　　　上的点；Ｒ（）为正截面的半径；０（Ｔ）为包络面上的　　冀　　　４％翟ｔ÷　　｝一｜。一？ｉ　ｌｌ　　　聃ｅｌ　　｜：　Ｖ　八　　　　　　　　０００　　２　　Ｐ　　　００．．．　　２　　０．．　　．　　ｏ　　　１２．．．　　　　　００　　　　　　　　　　　　２ｒＯ０Ｏ　１０　　　　复合材料自动铺丝轨迹规划　　２０１４年３月　　　　　　Ｐ点与球心的连线和轴线切线Ｏ（）的夹角；Ｒ（）　　为包络球的半径。　／　　　　　图４管道曲面的图解　／　　≥　对于上图中的曲面截面，可知Ｒ（Ｔ）Ｒ（Ｔ），由　　　于Ｏ（ｒ）采用三次Ｂ样条插值可知其为二阶连续函　　　　数。ｌｌＯ（Ｔ）×”≠　　　　　　Ｏ（Ｔ）ｌＩ０，Ｏ（Ｔ）＞Ｒ（）。对　　　　　　于上面的图形其曲面Ｊｓ上的点Ｐ、中心线Ｏ（）、包　　　络球的半径Ｒ（）正截面有如下几何关系：　　　曲面上的点Ｐ到中心线Ｏ（Ｔ）之间的距离等于　　　包络球的半径，即：　—　　　ｌｌＰＯ（Ｔ）＝Ｒ（Ｔ）　（１０）　　　曲面上的Ｐ点到包络球球心的向量与中心线的　　　　　切向量的点乘，与包络球的半径向量即其切向量点　　乘的和等于零，即：—　　　　（ＰＯ（Ｔ））・Ｏ（Ｔ）＋尺（）・Ｒ（Ｔ）＝０（１１）　　　上图中，０（Ｔ）可以表示为两个向量的夹角，即：—　　　　　ＰＤ（）与向量Ｏ（Ｔ）。于是便有公式：　ｃｏｓ　＝　（１２　　将公式（１０）、（１１）代人上式可得：　ｃｏｓ　（１３）　　　根据图４我们知道其截面轴心Ｌ（Ｔ）的表达式：　　　　（７１）＝Ｏ（Ｔ）＋ｃ。ｓ（）Ｒ（）　（１４）　　　　　上式中，表达式采用向量的形式　为　其方向。将式（１３）代入上式变可得出其轴心的表　达式为：　　　　　　　Ｌ（）＝ｏ（）＋Ｒ（）（）　（１５）　　　其圆管的正截面半径表达式为：　　　Ｒ（Ｔ）＝Ｒ（）ｓｉｎ０（）　（１６）　　　　　同理将式（１３）代人上式并化简得最后的正截　　面半径为：麟　　≥　　（民薯ｉ２ｌ４ｏ．３　　（）　（１７）　　　　通过上面求出的轴心Ｌ（）和其对应的截面半　　径最终可得其曲面方程为：　　　　（Ｔ，０）＝（Ｔ）＋月（Ｔ）（ｓｉｎＯＡ。（Ｔ）＋ｃｏｓＡ（Ｔ））（１８）　　　　　上式中的Ａ、Ａ分别为参数曲面的基向量：　（２０　Ａ　　　２．３芯模表面线路的实现　　　　根据上述方法，我们知道了管道曲面轴线和曲　　　　面方程的求法（主要是针对管道曲面的计算），本文　主要在已知曲面和轴线的表达式的基础上得出铺丝　的路径方法。　　　　　　　　普通曲面的参数化方程为：ｓ（，），其中、　　　　是曲面的两个参数，其也可以通过笛卡尔坐标系可　　　　　　　　　　　　以表示为：Ｓ（，）＝（（，），ｙ（，），Ｚ（Ｕ，　　　　Ｖ）），在曲面上的螺旋线方程为Ｑ（Ｔ）＝（Ｕ（７１），　　　　　（Ｔ））。Ｌ（）为其曲面的轴线方程，假定Ｑ（）为其　　　　铺丝路径，毫无疑问在Ｑ（Ｔ）点也在曲面ｓ上。通过　　　　　Ｑ（Ｔ）上的点Ｑ作管道曲面的正截面方程，刚好交　　　　　　轴线上的点Ｌ，以这样的方式在Ｑ（Ｔ）上取一点Ｑ，　　　　　同时在（）取一个与之对应的点联立则有如下关　　系成立：　　　　　　（Ｑ（）一Ｌ（））・（）＝０　（２１）　　在铺丝过程中，丝束路径需与某个参照线成一　　　　个角度０，这个角度便为铺丝的角度。此参考线定　　　　　为管道曲面的轴心线，这样丝束的路径的切向量与　　　　轴线切向量的夹角即为我们所需的铺丝角度０，则　　有如下关系成立：　　　　　　　　Ｌ（Ｔ）・Ｑ（Ｔ）＝ｃｏｓＯｌｌ（）１ｌ・Ｉｐ（Ｔ）ｌｌ　（２２）　　　　因为此曲线Ｑ（Ｔ）在曲面．ｓ上，所以其曲线具备　　　　　曲面ｓ的特性，对Ｑ（Ｔ）求导则可得：　　Ｑ（　　ＳｖＤＵ　（２３）　　　　上式中，将式（２２）中两边平方，同时将式（２３）　　代入得：　　　　　　　　　　Ｅ（Ｌ）２．Ｓ一ｓ（２．Ｅ］・　＋　　　　　　　　２［Ｌ（Ｔ）・ＳＵ．Ｌ（Ｔ）・Ｓ一ｃｏｓ・Ｌ（）・Ｆ］・　（２４）　　　＋［（７１）２￣ＳＶ－－ＣＯＳ２０．Ｌ（）２．Ｇ）］（　１２　　　　复合材料自动铺丝轨迹规划　　２０１４年３月　　　４结论　　本文针对复合材料回转体构件，提出了利用三　　　　　　次样条插值来得到回转体自动铺丝轨迹中心线方　　　　程，进而建立芯模参数曲面方程，最后完成回转体构　　　　　　件的自动铺丝轨迹规划模型；利用ＭＡＴＬＡＢ验证了　　　　算法的有效性，实例验证表明，该算法规划的轨迹满　足实际铺丝工艺的要求。本文主要针对回转体构件　　　　进行轨迹规划的研究，如果曲面是不规则的，如椭圆　　形或每个截面形状不尽相同，亦或是平面，则本算法　有待进一步的研究。　参考文献　　　　　　［１］李燕元，王小平，王志国，朱丽君．管道曲面构件自动铺丝路径规　—　划［，］．宇航材料工艺，２０１０，（５）：２７３２．　　　　　　　　　　　［２］李善缘，王小平，朱丽君．复合材料铺丝成型中的路径规划　　［．，］．宇航材料工艺，２００９，（２）：２５．２９．　　　　　　　［３］林福建．自动铺丝束成型的关键技术［，］．组合机床与自动化　　加工技术，２００５，（３）：２５－２６．　　　　　［４］沈军，谢怀勤．航空用复合材料的研究与应用进展［．，］．玻璃钢／　　　复合材料。２００６，（５）：４８．５２．　　　　　　　　［５］王升，肖军，吴海桥．自动铺带轨迹规划中测地线算法研究［川．　—玻璃钢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